初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试优秀教学设计及反思

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试优秀教学设计及反思，共26页。教案主要包含了名师点睛等内容，欢迎下载使用。

22.1 二次函数的图象和性质





1．二次函数的定义


（1）一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做__________．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．


（2）一般式：y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）称为二次函数的一般式．


（3）二次函数的判断方法：


①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．


2．二次函数y=ax2的图象和性质


对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．


3．二次函数y=ax2+k的图象和性质


4．二次函数y=a（x–h）2的图象和性质


5．二次函数y=a（x–h）2+k的图象和性质


6．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质


7．二次函数的平移问题








1．（1）二次函数2．向上，（0，0），y轴3．向下，（0，k），y轴，减小，减小4．（h，0），x=h，h


5．（h，k），增大6．，








1．二次函数的定义


函数y=ax2+bx+c为二次函数的前提条件是a≠0．在解二次函数的相关问题时，一定不能忽视“二次项系数不为0”这一隐含条件，尤其是二次项系数含字母的二次函数，应特别注意．


例 1


下列函数中，属于二次函数的是


A．y=2x–1B．y=x2+C．y=x2（x+3）D．y=x（x+1）


【答案】D


【解析】A、y=2x–1是一次函数，不是二次函数，故本选项错误；


B、y=x2+的右边是分式，不是二次函数，故本选项错误；


C、y=x2（x+3）中自变量x的指数是3，不是二次函数，故本选项错误；


D、y=x（x+1）符合二次函数的定义，故本选项正确；


故选D．


【名师点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．


2.二次函数的图象与性质


二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．


例 2


二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是


A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3）


C．当x>0时，y随x的增大而减小D．抛物线与x轴有两个交点


【答案】D


【解析】A．a=2，则抛物线y=2x2−3的开口向上，所以A选项错误；


B．当x=2时，y=2×4−3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；


C．由A可知抛物线开口向上且对称轴为直线x=0，当x>0时，y随x的增大而增大，所以C选项错误；


D．当y=0时，2x2−3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．故选D．


例 3


已知a<0，b＞0，c<0，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是


A．B．


C．D．


【答案】A


【解析】由a<0可知，抛物线开口向下，排除D；


由a<0，b＞0可知，对称轴x=–＞0，在y轴右边，排除B，


由c<0可知，抛物线与y轴交点（0，c）在x轴下方，排除C；


故选A．


【名师点睛】本题考查了二次函数的图象，关键是根据抛物线解析式的系数与抛物线图象位置的关系解答．


例 4


抛物线y=–(2x−3)2+1的顶点坐标为


A．（3，1）B．（–3，1）C．（，1）D．（–，1）


【答案】C


【解析】∵抛物线y=–(2x−3)2+1中，2x–3=0时，x=，故抛物线y=–(2x−3)2+1的顶点坐标为：（，1）．故选C．


【名师点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点横坐标是解题关键．


例 5


已知二次函数y=a（x-1）2+3，当x<1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是


A．a≥0B．a≤0C．a>0D．a<0


【答案】D


【解析】∵二次函数y=a（x-1）2+3，∴该二次函数的对称轴为直线x=1，又∵当x<1时，y随x的增大而增大，∴a<0．故选D．


【名师点睛】运用了二次函数的性质，解题的关键是明确在二次函数中，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．


例 6


若点A（2，），B（-3，），C（-1，）三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是


A．B．


C．D．


【答案】C


【解析】首先求出二次函数的图象的对称轴x==2，且由a=1>0，可知其开口向上，然后由A（2，）中x=2，知最小，再由B（-3，），C（-1，）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以．总结可得．故选C．


3.二次函数的解析式


用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：


（1）设一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将已知条件代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，解析式便可得出．


（2）设顶点式：y=a（x-h）2+k，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y=a（x-h）2+k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．


（3）设交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0)，设所求二次函数为y=a（x-x1）（x-x2），将第三个点的坐标（m，n)（其中m，n为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式．


例 7


若抛物线经过点（3，0）和（2，-3），且以直线x=1为对称轴，则该抛物线的解析式为


A．y=-x2-2x-3B．y=x2-2x+3


C．y=x2-2x-3D．y=-x2+2x-3


【答案】C


【解析】设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，把（3，0）和（2，-3）代入抛物线解析式得，


由直线x=1为对称轴，得到，即b=-2a，代入方程组得，解得a=1，b=-2，c=-3，则抛物线解析式为y=x2-2x-3，故选C．


【名师点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．


例 8


已知二次函数y=ax2+4x+c，当x等于–2时，函数值是–1；当x=1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为


A．y=2x2+4x–1B．y=x2+4x–2


C．y=–2x2+4x+1D．y=2x2+4x+1


【答案】A


【解析】根据题意得，解得，


所以抛物线解析式为y=2x2+4x–1．故选A．


【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．


4.二次函数的平移问题


（1）抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．


（2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式．


（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2+k的顶点是（0，k），y=a（x-h）2的顶点是（h，0），y=a（x-h）2+k的顶点是（h，k）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．


（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．


例 9


（2019•济宁）将抛物线y=x2–6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是


A．y=（x–4）2–6B．y=（x–1）2–3


C．y=（x–2）2–2D．y=（x–4）2–2


【答案】D


【解析】y=x2–6x+5=（x–3）2–4，即抛物线的顶点坐标为（3，–4），


把点（3，–4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，–2），


所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x–4）2–2．故选D．


【名师点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．








1．给出下列函数：①y=2x–3；②y=；③y=2x2；④y=–3x+1．上述函数中符合条件“当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小”的是


A．①③B．③④


C．②④D．②③


2．已知函数y=（m–2）x|m|+mx–1，其图象是抛物线，则m的取值是


A．m=2B．m=–2


C．m=±2D．m≠0


3．二次函数y=（x+1）2与x轴交点坐标为


A．（–1，0）B．（1，0）


C．（0，–1）D．（0，1）


4．已知二次函数，关于该函数在–1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是


A．有最大值–1，有最小值–2B．有最大值0，有最小值–1


C．有最大值7，有最小值–1D．有最大值7，有最小值–2


5．已知二次函数y=x2–4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为


A．1B．2C．3D．4


6．已知抛物线y=ax2（a>0）过A（-2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是


A．y1>0>y2B．y2>0>y1


C．y1>y2>0D．y2>y1>0


7．当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是


A．x>0B．x<1


C．x>1D．x为任意实数


8．对于二次函数的图象，给出下列结论：①开口向上；②对称轴是直线；③顶


点坐标是；④与轴有两个交点．其中正确的结论是


A．①②B．③④


C．②③D．①④


9．一种函数是二次函数，则m=__________．


10．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是__________．


11．设A（–2，y1），B（–1，y2），C（5，y3）是抛物线y=x2–2x+m上的三点，则y1，y2，y3从小到大用“<”排列是__________．


12．如图，抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A，B，且过点C（5，4）．


（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；


（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．


























13．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．


（1）求此抛物线的表达式；


（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．



































14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．


（1）求二次函数的解析式；


（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；


（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

















1．在平面直角坐标系中，将抛物线y=-x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是


A．y=-x2-x-B．y=-x2+x-


C．y=-x2+x-D．y=-x2-x-


2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a–2b+c，N=a+b+c，则





A．M＞0，N＞0B．M＞0，N<0


C．M<0，N＞0D．M<0，N＞0


3．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有





A．2个B．3个


C．4个D．5个


4．二次函数y=x2-2x-3，当m-2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为__________．


5．若直线y=ax-6与抛物线y=x2-4x+3只有一个交点，则a的值是__________．


6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C．


（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；


（2）求△BCD的面积；


（3）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．



































1．（2019•成都）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是





A．c<0B．b2–4ac<0


C．a–b+c<0D．图象的对称轴是直线x=3


2．（2019•巴中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2>4ac，②abc<0，③2a+b–c>0，④a+b+c<0．其中正确的是





A．①④B．②④


C．②③D．①②③④


3．（2019•株洲）若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，则a__________0（填“=”或“>”或“<”）．


4．（2019•凉山州）将抛物线y=（x–3）2–2向左平移__________个单位后经过点A（2，2）．


5．（2019•宜宾）将抛物线y=2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为__________．


6．（2019•天水）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b，N=a–b．则M、N的大小关系为M__________N．（填“>”、“=”或“<”）





7．（2019•陇南）将二次函数y=x2–4x+5化成y=a（x–h）2+k的形式为__________．


8．（2019•潍坊）如图，直线y=x+1与抛物线y=x2–4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB=__________．





9．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为__________．





10．（2019·宁波）如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P（–2，3）．


（1）求a的值和图象的顶点坐标．


（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．


①当m=2时，求n的值；


②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．





























11．（2019·安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．


（1）求k，a，c的值；


（2）过点A（0，m）（0


































12．（2019•台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（–2，4）．


（1）求b，c满足的关系式；


（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；


（3）若该函数的图象不经过第三象限，当–5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．






































1．【答案】C


【解析】①y=2x–2，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项错误；


②y=，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；


③y=2x2，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项错误；


④y=–3x，当x＞0时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；


故选C．


【名师点睛】本题考查了三种函数的性质，了解它们的性质是解答本题的关键，难度不大．


2．【答案】B


【解析】由题意得：，且m–2≠0，解得m=–2，故选B.


【名师点睛】本题主要考查二次函数的定义，其一般形式为：（a≠0）.


3．【答案】A


【解析】二次函数y=（x+1）2图象与x轴交点横坐标就是（x+1）2=0的根，


解方程（x+1）2=0，得：x1=x2=–1，∴二次函数y=（x+1）2图象与x轴交点坐标为（–1，0）；故选A．


【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、方程的解法；明确二次函数y=（x＋1）2图象与x轴交点横坐标就是（x＋1）2=0的根是解题关键．


4．【答案】D


【解析】∵y=x2−4x＋2=（x−2）2−2，∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，有最小值−2，当x=−1时，有最大值为y=9−2=7．故选D．


【名师点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．


5．【答案】B


【解析】将点A(1，0)代入y=x2–4x+m，得到m=3，


所以y=x2–4x+3，与x轴交于两点，则解方程x2–4x+3=0可得x1=1，x2=3，


则AB=|x1–x2|=2；故选B．


【名师点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键是确定出二次函数的解析式，并求出二次函数与x轴的交点坐标．


6．【答案】C


【解析】∵抛物线y=ax2（a>0）的对称轴是y轴，∴A（-2，y1）关于对称轴的对称点的坐标为（2，y1）．


又∵a>0，0<1<2，且当x=0时，y=0，∴0

7．【答案】B


【解析】对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，





∴当x<1时，函数值y随着x的增大而减小．故选B．


8．【答案】D


【解析】∵a=1>0，∴开口向上，①正确；∵x-3=0，∴对称轴为x=3，②错误；∵顶点坐标为：（3，-4），故③错误；∴在第四象限，所以与x轴有两个交点，故④正确．故选D．


9．【答案】-1


【解析】根据二次函数的二次项的次数是2，二次项的系数不等于零，可由是二次函数，得m2+1=2且m−1≠0，解得m=-1，m=1（不符合题意要舍去）．故答案为：-1．


10．【答案】y=（x-2）2-1


【解析】y=x2-4x+3=（x2-4x+4）-4+3=（x-2）2-1，故答案为：y=（x-2）2-1．


11．【答案】y2

【解析】∵二次函数的解析式可化为y=（x–1）2+m–1，


∴抛物线的对称轴为直线x=1，


∵A（–2，y1）、B（–1，y2）、C（5，y3），


∴点C离直线x=1最远，点B离直线x=1最近，


而抛物线开口向上，


∴y2

故答案为y2

12．【解析】（1）把点C（5，4）代入抛物线y=ax2-5ax+4a，得25a-25a+4a=4，解得a=1．


∴二次函数的表达式为y=x2-5x+4．


∵y=x2-5x+4=（x-）2-，∴顶点P的坐标为（，-）．


（2）答案不唯一，合理即可，如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数表达式为y=（x-+3）2-+4=（x+）2+，


即y=x2+x+2．


13．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x–3）2+5，


将A（1，3）代入上式得3=a（1–3）2+5，解得a=–，


∴抛物线的解析式为y=–（x–3）2+5；


（2）∵A（1，3），抛物线的对称轴为：直线x=3，


∴B（5，3），


令x=0，y=–（x–3）2+5=，则C（0，），


则△ABC的面积=×（5–1）×（3–）=5．


14．【解析】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，


∴，


∴a=，b=-，c=-1，


∴二次函数的解析式为y=x2-x-1．


（2）当y=0时，得x2-x-1=0，


解得x1=2，x2=-1，


∴点D坐标为（-1，0）．


（3）图象如图，





当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是-1




1．【答案】A


【解析】将抛物线y=-x2向下平移1个单位长度，得y=-x2-1，再向左平移1个单位长度，得到y=-1）2-1，即y=-x2-x-．故选A．


2．【答案】B


【解析】∵当x=–2时，y=4a–2b+c＞0，∴M＞0，


∵当x=1时，y=a+b+c<0，∴N<0，故选B．


3．【答案】B


【解析】①开口向下，a<0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b>0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c>0，则abc<0，所以①不正确；


②当x=-1时，y=a-b+c<0，即a+c

③对称轴为直线x=1，则x=2时图象对应的点在x轴上方，则y=4a+2b+c>0，所以③正确；


④对称轴x==1，则a=-b，而a-b+c<0，则-b-b+c<0，2c<3b，所以④正确；


⑤开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am2+bm+c，则a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选B．


4．【答案】0或4


【解析】令y=5，可得x2-2x-3=5，解得x=-2或x=4，所以m-2=-2或m=4，即m=0或4．故答案为：0或4．


5．【答案】2或-10


【解析】由题意可知：x2−4x+3=ax−6，整理得x2−（4+a）x+9=0，


∵只有一个交点，∴Δ=（4+a）2−4×1×9=0，


解得a1=2，a2=−10．故答案为：2或-10．


6．【解析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，


得，


解得，


∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，顶点D（1，9）．


（2）如图，





∵抛物线的解析式：y=-x2+2x+8，


∴C（0，8），


∵B（4，0），


∴直线BC的解析式为y=-2x+8，


∴直线和抛物线对称轴的交点H（1，6），


∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=×3×1+×3×3=6．


（3）如图，





∵C（0，8），D（1，9），


代入直线解析式y=kx+b，


∴，解得，


∴y=x+8，


∴E点坐标为：（-8，0），


∵B（4，0），


∴x=4时，y=4+8=12


∴F点坐标为：（4，12），


设抛物线向上平移m个单位长度（m>0），


则抛物线的解析式为：y=-（x-1）2+9+m．


当x=-8时，y=m-72，


当x=4时，y=m，


∴m-72≤0或m≤12，∴0

∴抛物线最多向上平移72个单位．





1．【答案】D


【解析】A．由于二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c>0，故A错误；


B．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有2个交点，所以b2–4ac>0，故B错误；


C．当x=–1时，y>0，即a–b+c>0，故C错误；


D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x==3，故D正确．


故选D．


【名师点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．


2．【答案】A


【解析】①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2–4ac>0，即b2>4ac，所以①正确；


②由二次函数图象可知，a<0，b<0，c>0，∴abc>0，故②错误；


③∵对称轴为直线x=–=–1，∴b=2a，∴2a+b–c=4a–c，


∵a<0，4a<0，c>0，–c<0，∴2a+b–c=4a–c<0，故③错误；


④∵对称轴为直线x=–1，抛物线与x轴一个交点位于–3

∴抛物线与x轴另一个交点位于0

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．


3．【答案】<


【解析】∵二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，∴a<0．故答案是：<．


4．【答案】


【解析】∵将抛物线y=（x–3）2–2向左平移后经过点A（2，2），


∴设平移后解析式为：y=（x–3+a）2–2，


则2=（2–3+a）2–2，


解得：a=3或a=–1（不合题意舍去），


故将抛物线y=（x–3）2–2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．


故答案为：3．


【名师点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．


5．【答案】y=2（x+1）2–2


【解析】将抛物线y=2x2的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为：y=2（x+1）2–2．故答案为：y=2（x+1）2–2．


【名师点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．


6．【答案】<


【解析】当x=–1时，y=a–b+c>0，当x=2时，y=4a+2b+c<0，


M–N=4a+2b–（a–b）=4a+2b+c–（a–b+c）<0，即M

【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．


7．【答案】y=（x–2）2+1


【解析】y=x2–4x+5=x2–4x+4+1=（x–2）2+1，所以y=（x–2）2+1．故答案为：y=（x–2）2+1．


【名师点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：


（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；


（2）顶点式：y=a（x–h）2+k；


（3）交点式（与x轴）：y=a（x–x1）（x–x2）．


8．【答案】


【解析】联立，


解得或，


∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），


∴AB==3，


作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴交于P，则此时△PAB的周长最小，





点A′的坐标为（–1，2），点B的坐标为（4，5），


设直线A′B的函数解析式为y=kx+b，


，得，


∴直线A′B的函数解析式为y=x+，


当x=0时，y=，


即点P的坐标为（0，），


将x=0代入直线y=x+1中，得y=1，


∵直线y=x+1与y轴的夹角是45°，


∴点P到直线AB的距离是：（–1）×sin45°=×=，


∴△PAB的面积是：=，


故答案为：．


【名师点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称–最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．


9．【答案】（–1010，10102）


【解析】∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y=x，A1（–1，1），


∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y=x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（–2，4），


∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y=x+6，解得或，


∴A4（3，9），∴A5（–3，9），…，∴A2019（–1010，10102），故答案为：（–1010，10102）．


【名师点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．


10．【解析】（1）把点P（–2，3）代入y=x2+ax+3中，


∴a=2，∴y=x2+2x+3，


∴顶点坐标为（–1，2）；


（2）①当m=2时，n=11，


②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|<2，


∴–2

11．【解析】（1）由题意得，k+4=2，解得k=–2，


由题可得二次函数顶点为（0，c），把（0，c）代入y=kx+4，可得c=4，


把（1，2）代入二次函数表达式得a+c=2，解得a=–2．


（2）由（1）得二次函数解析式为y=–2x2+4，令y=m，得2x2+m–4=0，


∴x=±，


设B，C两点的坐标分别为（x1，m），（x2，m），


则|x1|+|x2|=2，


∴W=OA2+BC2=m2+4×=m2−2m+8=(m−1)2+7，


∴当m=1时，W取得最小值7．


12．【解析】（1）将点（–2，4）代入y=x2+bx+c，


得–2b+c=0，


∴c=2b；


（2）m=–，n=，∴n=，


∴n=2b–m2，


（3）y=x2+bx+2b=（x+）2–+2b，


对称轴x=–，


当b≤0，2b≥0时，函数不经过第三象限，则b=0；


此时y=x2，当–5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，


∴最大值与最小值之差为25；（舍去）


当b＞0，2b＞0时，函数不经过第三象限，


则Δ≤0，∴0≤b≤8，


∴–4≤x=–≤0，


当–5≤x≤1时，函数有最小值–+2b，


当–5≤–<–2时，函数有最大值1+3b，


当–2<–≤1时，函数有最大值25–3b；


函数的最大值与最小值之差为16，


当最大值为1+3b时，1+3b+–2b=16，∴b=6或b=–10，


∵4

当最大值为25–3b时，25–3b+–2b=16，∴b=2或b=18，


∵0≤b<4，∴b=2；综上所述b=2或b=6；


【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键．函数
y=ax2（a>0）
y=ax2（a<0）
图象
开口方向
__________
向下
顶点坐标
（0，0）
__________
对称轴
__________
y轴
增减性
x>0时，y随x的增大而增大；


x<0时，y随x的增大而减小
x>0时，y随x的增大而减小；


x<0时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
函数
y=ax2+k（a>0）
y=ax2+k（a<0）
开口方向
向上
__________
顶点坐标
__________
（0，k）
对称轴
y轴
__________
增减性
x>0时，y随x的增大而增大；


x<0时，y随x的增大而_________
x>0时，y随x的增大而________；


x<0时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x=0时，y最小值= k
当x=0时，y最大值= k
函数
y=a（x-h）2（a>0）
y=a（x-h）2（a<0）
开口方向
向上
向下
顶点坐标
__________
（h，0）
对称轴
x=h
__________
增减性
x> h时，y随x的增大而增大；


xx> h时，y随x的增大而减小；


x最大（小）值
当x=__________时，y最小值= 0
当x= h时，y最大值= 0
函数
y=a（x-h）2+k（a>0）
y=a（x-h）2+k（a<0）
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（h，k）
__________
对称轴
x=h
x=h
增减性
x> h时，y随x的增大而增大；


xx> h时，y随x的增大而减小；


x最大（小）值
当x= h时，y最小值= k
当x= h时，y最大值= k
函数
y=ax2+bx+c（a>0）
y=ax2+bx+c（a<0）
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（，__________）
（，）
对称轴
x=
x=__________
增减性
x>时，y随x的增大而增大；


x<时，y随x的增大而减小
x>时，y随x的增大而减小；


x<时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x= 时，y最小值=
当x= 时，y最大值=
解析式
y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）
分情况讨论
m>0，n>0
m>0，n<0
m<0，n>0
m<0，n<0
变换过程
由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位
由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位
由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位
由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位
帮—重点
二次函数的图象和性质
帮—难点
二次函数的图象与a，b，c的关系
帮—易错
二次函数的平移