人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时一课一练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(十八) 函数的最大(小)值


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．函数y＝eq \f(1,x－1)在[2,3]上的最小值为( )


A．2 B．eq \f(1,2)


C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)


B [∵函数y＝eq \f(1,x－1)在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝eq \f(1,3－1)＝eq \f(1,2).]


2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为( )


A．[－6，－2] B．[－11，－2]


C．[－11，－6] D．[－11，－1]


B [函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，


所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；


当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，


所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B.]


3．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋6，x∈[1，2]，,x＋7，x∈[－1，1，))则f(x)的最大值、最小值分别为( )


A．10,6 B．10,8


C．8,6 D．以上都不对


A [当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f(x)最小值＝f(－1)＝6，f(x)最大值＝f(2)＝10.故选A.]


4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )


A．(－∞，1] B．(－∞，0]


C．(－∞，0) D．(0，＋∞)


C [令f(x)＝－x2＋2x，


则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.


又∵x∈[0,2]，


∴f(x)最小值＝f(0)＝f(2)＝0，


∴a<0.]


5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )


A．90万元 B．60万元


C．120万元 D．120.25万元


C [设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为


L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(19,2)))eq \s\up24(2)＋30＋eq \f(192,4)，


∴当x＝9或10时，L最大为120万元．]


二、填空题


6．函数f(x)＝eq \f(1,x)在[1，b](b>1)上的最小值是eq \f(1,4)，则b＝________.


4 [因为f(x)＝eq \f(1,x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,4)，所以b＝4.]


7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．


1 [函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.


故当x＝0时，函数有最小值，


当x＝1时，函数有最大值．


∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，


∴f(x)最大值＝f(1)＝－1＋4－2＝1.]


8．函数f(x)＝eq \r(6－x)－3x在区间[2,4]上的最大值为________．


－4 [∵y＝eq \r(6－x)在区间上是减函数，y＝－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝eq \r(6－x)－3x在区间上是减函数，∴f(x)最大值＝f(2)＝eq \r(6－2)－3×2＝－4.]


三、解答题


9．画出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)，x∈－∞，0，,x2＋2x－1，x∈[0，＋∞))的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．





[解] 函数的图象如图所示．


由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．


由函数图象可知，


函数的最小值为f(0)＝－1.


10．已知函数f(x)＝－x2＋2x－3.


(1)求f(x)在区间[2a－1,2]上的最小值g(a)；


(2)求g(a)的最大值．


[解] (1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤eq \f(1,2)时，f(x)最小值＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；


当0＜2a－1＜2，即eq \f(1,2)

所以g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4a2＋8a－6，a≤\f(1,2)，,－3，\f(1,2)

(2)当a≤eq \f(1,2)时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增，


∴g(a)≤geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－3；


又当eq \f(1,2)

∴g(a)的最大值为－3.





11．函数f(x)＝－x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是( )


A.eq \f(3,2) B．－eq \f(8,3)


C．－2 D．2


A [∵f(x)＝－x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,3)))上单调递减，


∴f(x)最大值＝f(－2)＝2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).]


12．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )


A．[1，＋∞) B．[0,2]


C．(－∞，2] D．[1,2]


D [f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)最小值＝2，f(x)最大值＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，


∴1≤m≤2，故选D.]


13．(一题两空)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x0≤x≤2，,\f(2,x－1)x＞2，))求函数f(x)的最大值为________，最小值为________．


2 －eq \f(1,4) [作出f(x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；





当x＝eq \f(1,2)时，f(x)取最小值为－eq \f(1,4).


所以f(x)的最大值为2，最小值为－eq \f(1,4).]


14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．


6 [在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．





根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．


解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．


所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，0≤x≤4，,10－x，x>4，))其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]





15．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：


(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．


(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？


[解] (1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(45a＋b＝27，,50a＋b＝12，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝162，))


所以y＝f(x)＝－3x＋162.


又y≥0，所以30≤x≤54，


故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]．


(2)由题意得，


P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)


＝－3x2＋252x－4 860


＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．


当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润.


x
45
50
y
27
12