高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念习题，共4页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二) 集合的表示


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是( )


A．0∈A B．1.5∉A


C．－1∉A D．6∈A


D [∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，


∴6∉A，故选D.]


2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )


A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}


C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}


D [解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]


3．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )


A．{y|y＝2} B．{x＝2}


C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}


B [{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．]


4．方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))的解集是( )


A．(－5,4) B．(5，－4)


C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}


D [解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x2－y2＝9，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝－4，))故解集为{(5，－4)}，选D.]


5．下列集合的表示方法正确的是( )


A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}


B．不等式x－1<4的解集为{x<5}


C．{全体整数}


D．实数集可表示为R


D [选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．]


二、填空题


6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________．


{x|x＝2n，n∈N*} [正整数中所有的偶数均能被2整除．]


7．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.


1 [由集合相等的概念得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,a2－3a＝－2，))解得a＝1.]


8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.


{1,3} [由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，


所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，


则方程x2＋ax＋3＝0，


即x2－4x＋3＝0，


解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．]


三、解答题


9．选择适当的方法表示下列集合．


(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；


(2)大于2且小于6的有理数；


(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．


[解] (1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．


(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2

(3)用描述法表示该集合为


M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；


或用列举法表示该集合为


{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．


10．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈Z\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,3－x)∈Z)))).


(1)用列举法表示集合A；


(2)求集合A的所有元素之和．


[解] (1)由eq \f(4,3－x)∈Z，得3－x＝±1，±2，±4.解得x＝－1,1,2,4,5,7.


又∵x∈Z，∴A＝{－1,1,2,4,5,7}．


(2)由(1)得集合A中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.





11．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为( )


A．3 B．4


C．5 D．6


B [当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素．]


12．(多选题)若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为( )


A．0 B．1


C．2 D．3


AB [集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1.]


13．已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,10}，若－3∈A，则a＝______.


－eq \f(3,2) [因为－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，当a－2＝－3时，a＝－1，


此时2a2＋5a＝－3，与元素的互异性不符，所以a≠－1.


当2a2＋5a＝－3时，即2a2＋5a＋3＝0，


解得a＝－1或a＝－eq \f(3,2).显然a＝－1不合题意．


当a＝－eq \f(3,2)时，a－2＝－eq \f(7,2)，满足互异性．


综上，a＝－eq \f(3,2).]


14．(一题两空)设a∈N，b∈N，a＋b＝2，A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3,2)∈A，则a＝________，b＝________.


1 1 [由a＋b＝2，得b＝2－a，


代入(x－a)2＋(y－a)2＝5b得：


(x－a)2＋(y－a)2＝5(2－a)①，


又因为(3,2)∈A，将点代入①，可得


(3－a)2＋(2－a)2＝5(2－a)，


整理，得2a2－5a＋3＝0，


得a＝1或1.5(舍去，因为a是自然数)，


所以a＝1，所以b＝2－a＝1，综上，a＝1，b＝1.]





15．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个？


[解] 若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6,6)，这时有2×5＋1＝11(个)；


若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．


所以共有11＋4＝15(个).