初中数学华师大版九年级上册1. 成比例线段学案

这是一份初中数学华师大版九年级上册1. 成比例线段学案，共6页。学案主要包含了解题思路，方法归纳等内容，欢迎下载使用。

课前知识管理


1、线段比：在同一单位下两条线段的长度的比叫做线段的比.


2、比例线段：在四条线段中，如果与的比等于与的比，即（或︰=︰），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.


3、比例的项：如果，那么叫做组成比例的项，线段叫做比例外项，线段叫做比例内项，线段还叫做的第四比例项.


4、比例中项：在比例线段︰=︰中，如果内项，即或︰=︰，那么叫做的比例中项.


5、比例的性质：（1） → ad=bc； （2）


（3）


名师导学互动


典例精析：


知识点1：线段比


例1、已知线段AB=10，CD=25，则AB︰CD= .


【解题思路】上述两条线段单位一致，可直接按照定义求值.


【解】AB︰CD=10︰25=2︰5.


【方法归纳】要注意所给线段的单位是否一致，若不一致，应先统一单位后再计算.


对应练习：如图，是一个比例尺的中国地图，则北京、佛山两地之间的实际直线距离大约是（ ）


Ａ．kmＢ．km Ｃ．km Ｄ．km





答案 ：A


知识点2：比例线段


例2、已知线段，试判断四条线段是否成比例？


【解题思路】判断四条线段是否成比例的方法有下列两种：（1）把四条线段按长短排列好，判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等；（2）查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积.


【解】∵，∴，故四条线段是成比例的.


【方法归纳】判断四条线段是否成比例时，若所给的线段单位不一致，一定要先统一单位.


对应练习：已知四条线段a,b,c,d的长度分别如下，试判断它们是否成比例线段：a＝8，b＝4，c＝2.5，d＝5.


答案：四条线段的长度由小到大的顺序是c,b,d,a．∵c：b=d：a, 故c,b,d,a四条线段成比例．


知识点3：比例的性质


例3、如果，求，，，的值.


【解题思路】本题既可利用比例性质直接求值，还可设a=k1,b=3k1,c=k2,d=3k2,代入就可以求得各值．


【解】；；


；.


【方法归纳】利用公比k，将各未知数的关系联系起来，或直接利用比例性质，还可以用a表示b,即b=3a，用c表示d，即d=3c，再代入求之．


对应练习：如果，则下列各式不成立的是（ ）


Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．


答案：D


易错警示


1、对比的概念认识模糊


例4、因为＝，所以a＝4，b＝3，你认为这种说法正确吗？为什么？


错解：正确. 因为a＝4，b＝3，所以＝，反过来则有＝，即a＝4，b＝3.


错解剖析：＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，并不表示a＝4，b＝3.


正解：这种说法是错误的.因为＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，它表示a＝4k，b＝3k(k＞0)，所以这种说法是错误的.


2、对线段比的单位认识不足


例5、有两条线段，它们的长度之比为a∶b＝5∶3，则a＝5cm，b＝3cm，你认为这种说法正确吗？为什么？


错解：正确. 因为a＝5cm，b＝3cm，所以它们的长度之比为a∶b＝5∶3，即这种说法是正确的.


错解剖析：比值是没有单位的，它与采用共同单位无关.


正解：这种说法是错误的.因为a∶b＝5∶3仅表示a、b的比值，它表示a＝5k，b＝4k(k＞0)，所以这种说法是错误的.


3、忽视单位的统一


例6、A、B两地的实际距离AB＝250m，画在纸上的距离A′B′＝5cm，求纸上距离与实际距离的比.


错解：纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶250＝1∶50.


错解剖析：求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要注意有三点：①两条线段的比与采用的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；


②如果给出的线段长度单位不同，则必须化为同一长度单位后再求线段的比；③两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发现本题的错解是没有将单位化统一.


正解：因为AB＝250m＝25000 cm，所以纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶25000＝1∶5000.


4、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等


例7、若＝，求的值.


错解：因为＝，所以解得所以＝.


错解剖析：这里错误理解为两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如＝，分子上的2与1、分母上的4与2都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.


正解：设＝＝k(k≠0)，所以y＝(y－x)k，即xk＝yk－y＝y(k－1)，所以＝＝＝.


5、忽视使用性质的条件


例8、若＝＝＝k. 求k的值.


错解：因为＝＝＝k，所以由等比性质，得＝k，即k＝.


错解剖析：运用等比性质的条件是分母之和不等于0，而这里并没有说明a+b+c≠0，所以应分情况讨论.


正解：当a+b+c≠0时，由等比性质，得＝k，即k＝；当a+b+c＝0时，则有a+b＝－c，或a+c＝－b，或b+c＝－a，无论哪一种情况都有k＝－1，所以k的值为或－1.


6、错误地运用设k法解题


例9、已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y+3z＝38，求3x+y－2z的值.


错解：设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.


错解剖析：本题不能用“设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k”的方法求解，因为“3∶5∶6＝k”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但开始的设法就是错误的.


正解：因为x∶y∶z＝3∶5∶6，所以可设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.


7、忽视成线段成比例的顺序性


例10、已知线段a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm. 试求a、b、c的第四比例项x.


错解：因为a、b、c的第四比例项是x，所以有x∶a＝b∶c，即x＝，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝＝.


错解剖析：要求a、b、c的第四比例项x，就表示四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，就是说线段成比例得讲究一个顺序性，错解正是忽略了这一点.


正解：因为四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，又a＝3 cm，


b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝＝.


课堂练习评测


考点1：相似多边形的特征


1. 下列哪两个图形是相似图形（ ）.





A、①与② B、①与③ C、②与③ D、③与④





考点2：线段的比


2. 在比例尺为1︰10 000 000的地图上，量得A，B两地的距离是50cm，则A，B两地的实际距离为______．


3. 如果，那么的值是 ( ).


A． B． C. D．





课后作业练习


基础练习


1、若，则下列式子正确的是( ).


A. B. C. D.


2、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生．亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”．该园占地面积约为800000 m2，若按比例尺1：2000缩小后，其面积大约相当于（ ）


Ａ．一个篮球场的面积B．一张乒乓球台台面的面积


C．《陕西日报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积


3、正方形的边长与对角线的比是 .


4、若线段，则︰= .


5、一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看，如图，是一个参加空姐选拨的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）参考数据：黄金分割比为.





拓展练习


6、一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上，（如图所示）他测得BC=2．7米，CD=1．2米．你能帮他求出树高为多少米吗？





7、以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P．在BA的延长线上取点F，使PF＝PD．以AF为边长作正方形AFEM．点M落在AD上．（如图）


（1）试求AM，DM的长；


（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．





23.1课堂练习评测参考答案：


1.B；


2. 5 000km；


3.A


课后作业参考答案：


1、B


2、C


3、5︰3


4、1︰


5、解：设应穿xcm高的鞋子，根据题意，得，解得x≈10cm.


6、解：如图，树的一部分AE的影投射到CD．即AE=CD=1.2米．根据题意，得，解得BE=3米，所以，AB=AE+BE=3+1.2=4.2米．





7、提示：要证明点M是AD的黄金分割点，只需证明等式或成立即可．


解：由AB=2cm，得AP=1cm，于是有DP=cm，PF=PD=cm，因为AM=AF=-1（cm），所以，从而点M是AD的黄金分割点．