数学九年级上册1. 成比例线段导学案

23.1 成比例线段

1  成比例线段

学习目标：

1. 学习并掌握比例线段的相关概念及其性质.（重点）
2. 掌握比例的基本性质的推导与应用.（难点）

                        自主学习

一、新知预习

1.日常生活中，我们会碰到很多形状相同、大小不一定相同的图形，例如下面两张照片，右边的照片是由左边的照片放大得来的，尽管它们大小不同，但形状相同．

你还能举出类似的例子吗？_________________.

我们把这种具有相同形状的图形称为________．    

2.如图，下列格点图中的格点小正方形的边长都是1，试计算=_______,=      .这样和有什么关系？

【归纳总结】对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如_____=_____(或a∶b＝c∶d),我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这四条线段成比例.

合作探究

一、探究过程

探究点1：成比例线段

【典例精析】

例1下列四组线段中，是成比例线段的是（　　）

A.3cm，4cm，5cm，6cm      B.4cm，8cm，3cm，5cm

C.5cm，15cm，2cm，6cm     D.8cm，4cm，1cm，3cm

【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比（或计算前后两个数的积与中间两个数的积）看是否相等作出判断.

【针对训练】

1.已知四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm.

（1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；

（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.

2. 在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是　　　　m.

【思路分析】根据比例尺=图上距离∶实际距离，列方程求解（注意它们的单位）.

探究点2：比例的基本性质

【问题1】

如果a,b,c,d四条线段满足=,那么ad和bc相等吗？并说明理由

   解：________. 理由如下：

     ∵b≠0，d≠0，∴bd_______0.

     ∴在等式两边同时乘bd，得____________.

     即若a,b,c,d四条线段满足=，则ad=bc.

【问题2】

试说出问题1中结论的逆命题，它是真命题吗？如何证明？

逆命题是：如果四条线段a,b,c,d满足ad=bc,那么_______.

 请仿照问题1证明.

 【归纳】比例的基本性质：对于成比例线段，我们有下面的结论：

如果，那么________；如果ad=bc，那么________(b,d≠0).

例2已知＝，求的值.

解：解法1：由比例的基本性质，

得____________.

∴a＝____b，∴＝____.

解法2：由＝，得________＝7，

∴____________，∴＝_______.

【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.

【针对训练】

1.已知a∶b∶c＝3∶4∶5，求的值.

2.已知＝＝＝2，且b＋d＋f≠0，求的值.

二、课堂小结

当堂检测

1.下列各组数中一定成比例的是(        )

A.2，3，4，5            B.-1，2，-2，4

C.-2, 1,2，0            D.a，2b，c，2d

2.已知三条线段的长度分别为1cm，cm，2cm，请你再给出一条线段，使得这四条线段能够组成一个比例式．

3.已知＝＝≠0.

  (1)若a＋b＋c＝24，求a，b，c的值；[来

源:(2)求的值．

参考答案

自主学习  

一、新知预习

1.国旗上的大五角星和小五角星（答案不唯一）  相似图形     2.2   2   相等

【归纳总结】     成比例

合作探究 

一、探究过程

例1    C   

【针对训练】

1. 解（1）由题意，得=，=，解得d=16 cm.

（2）由题意，得=，=，解得d=cm.

2.1500

【问题1】

   相等    ≠   ad=bc  

【问题2】

   =

证明：∵b≠0，d≠0，∴bd≠0.

     ∴在等式两边同时除以bd，得=.

     即若a,b,c,d四条线段满足ad=bc，则=.

【归纳】ad=bc    =  

例2    2（a+3b）=2b·7    4     4          a=4b     4

【针对训练】   

1. 解：由a∶b∶c＝3∶4∶5，得b=a，c=a.∴ =.

2.解：∵＝＝＝2，∴a=2b，c=2d，e=2f，∴=2.

二、课堂小结     

     ad=bc    =   

当堂检测

1. B  

2.解：设所给的线段长为x cm，则有

①＝，解得x＝；②＝，解得x＝；③＝，解得x＝2.

故再给出的一条线段长应为 cm或 cm或2 cm.

3.解：(1)设＝＝＝k(k≠0)，

则a＝3k，b＝4k，c＝5k，

所以a＋b＋c＝3k＋4k＋5k＝12k＝24，

解得k＝2.

所以a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10.

(2)由(1)得a＝3k，b＝4k，c＝5k，

所以＝＝－.