2021届山东高考数学一轮创新教学案：第12章　第4讲　证明不等式的基本方法


第4讲　证明不等式的基本方法

[考纲解读]　了解不等式证明的基本方法：比较法、综合法、分析法，并能应用它们证明一些简单的不等式．(重点、难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考命题的一个热点．预测2021年将会考查：①与基本不等式结合证明不等式；②与恒成立、探索性问题结合，题型为解答题，属中档题型．





对应学生用书P216
1.基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．
定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2.比较法
作差法
依据
若a，b∈R，则a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b0，则>1⇔a>b；
＝1⇔a＝b；x－y.(　　)
(3)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　　)
(4)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.小题热身
(1)四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(　　)
A.>
B.
.
(2)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，z＝(ab)0.25，则x，y，z的大小关系是(　　)
A.x>y>z B．xz D．y0，
∴y2>x2>z2，又x>0，y>0，z>0，∴y>x>z.
(3)设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a，b应满足的条件为________．
答案　ab≠1或a≠－2
解析　因为x－y＝(a2b2＋5)－(2ab－a2－4a)
＝(a2b2－2ab＋1)＋(a2＋4a＋4)
＝(ab－1)2＋(a＋2)2≥0，
若x>y，则实数a，b应满足的条件为ab≠1或a≠－2.
(4)已知x>0，则y＝x2＋的最小值为________．
答案　3
解析　因为x>0，所以y＝x2＋＝x2＋＋≥
3＝3，当且仅当x2＝即x＝1时等号成立，所以y＝x2＋的最小值为3.



对应学生用书P216
题型 一　比较法证明不等式　

1.已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1.
证明　∵a>0，b>0，a＋b＝2，
∴＋－1
＝
＝
＝
＝＝
＝.
∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.∴≥0.
2.(2019·吉林长春模拟)(1)如果关于x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，求实数m的取值范围；
(2)若a，b均为正数，求证：aabb≥abba.
解　(1)令y＝|x＋1|＋|x－5|＝可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，有m≥6.
(2)证明：由a，b均为正数，则要证aabb≥abba，
只要证aa－bbb－a≥1，整理得a－b≥1.
当a≥b时，a－b≥0，可得a－b≥1；
当ab时，>1，>0，
由指数函数的性质知>1，
当a