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    2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第十一章 第1讲 随机抽样
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    2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第十一章 第1讲 随机抽样

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    1讲 随机抽样

    一、知识梳理

    1简单随机抽样

    (1)定义:一般地设一个总体含有N个个体从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN)且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等就称这样的抽样方法为简单随机抽样.

    (2)常用方法:抽签法和随机数法

    2分层抽样

    (1)定义:在抽样时将总体分成互不交叉的层然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个体将各层取出的个体合在一起作为样本这种抽样方法是一种分层抽样.

    (2)适用范围:适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.

    3系统抽样

    (1)步骤先将总体的N个个体编号;

    根据样本容量n是整数时取分段间隔k

    在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk)

    按照一定的规则抽取样本.

    (2)适用范围:适用于总体中的个体数较多时.

    常用结论

    1不论哪种抽样方法总体中的每一个个体入样的概率是相同的.

    2分层抽样是按比例抽样每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.

    3系统抽样是等距抽样入样个体的编号相差的整数倍.

    二、教材衍化  

    1世界读书日前夕为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中5 000名居民的阅读时间的全体是(  )

    A总体

    B个体

    C样本的容量

    D从总体中抽取的一个样本

    答案:A

    2某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品产量分别为200400300100件.为检验产品的质量现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验则应从丙种型号的产品中抽取        件.

    答案:18

    一、思考辨析

    判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)

    (1)简单随机抽样是一种不放回抽样.(  )

    (2)在抽签法中先抽的人抽中的可能性大.(  )

    (3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.(  )

    (4)用系统抽样从102个学生中抽取20需用简单随机抽样方法剔除2这样对被剔除者不公平.(  )

    (5)在分层抽样中每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(  )

    答案:(1) (2)× (3) (4)× (5)×

    二、易错纠偏

    (1)随机数表法的规则不熟出错;

    (2)系统抽样中先剔除部分个体再分段;

    (3)分层抽样每层抽取的抽样比是相同的.

    1假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验利用随机数表抽取样本时先将500支疫苗按000001499进行编号若从随机数表第7行第8列的数开始向右读则抽取的第3支疫苗的编号为        (下面摘取了随机数表的第7行至第9)

    84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67

    21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

    63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75

    12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

    33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38

    15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

    解析:由题意得从随机数表第7行第8列的数开始向右读符合条件的前三个编号依次是331455068故抽取的第3支疫苗的编号是068.

    答案:068

    2某学校为了解高一年级1 203名学生对某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样本若采用系统抽样则分段间隔为       

    解析:因为1 203除以40不是整数所以需随机剔除3个个体从而每一段有30个个体则分段间隔为30.

    答案:30

    3某校为了解学生学习的情况采用分层抽样的方法从高一2 400人、高二2 000人、高三n人中抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36那么高三被抽取的人数为       

    解析:由分层抽样可得×9036n1 600所以高三被抽取的人数为×9024.

    答案:24

          简单随机抽样(师生共研)

    (2020·河南新乡模拟)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率:先由计算器产生09之间取整数值的随机数指定01表示没有击中目标23456789表示击中目标;再以每4个随机数为一组代表4次射击的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:

    7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

    据此估计该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为       

    解析】 4次射击中有1次或2次击中目标的有:03716011761014177140所以所求概率P10.75.

    答案】 0.75

    抽签法与随机数法的适用情况

    (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况随机数法适用于总体中个体数较多的情况.

    (2)一个抽样试验能否用抽签法关键看两点:

    一是制签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.

    1下列抽样试验中适合用抽签法的是(  )

    A从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验

    B从某厂生产的两箱(每箱18)产品中抽取6件进行质量检验

    C从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18)产品中抽取6件进行质量检验

    D从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验

    解析:B.因为AD中总体的个体数较大不适合用抽签法;C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大因此未达到搅拌均匀的条件也不适合用抽签法;B中总体容量和样本容量都较小且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.

    2大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本较为恰当的抽样方法为       

    解析:因为三个盒子中装的是同一种产品且按比例抽取每盒中抽取的不是整数所以将三盒中的产品放在一起搅匀按简单随机抽样法抽样较为适合.

    答案:简单随机抽样

          分层抽样(师生共研)

    (1)(一题多解)某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的一共有20 000其中各种态度对应的人数如下表所示:

    最喜爱

    喜爱

    一般

    不喜欢

    4 800

    7 200

    6 400

    1 600

    电视台为了了解观众的具体想法和意见打算从中抽选出100人进行更为详细的调查为此要进行分层抽样那么在分层抽样时每类人中应抽选出的人数分别为(  )

    A25252525  B48726416

    C20403010  D2436328

    (2)一支田径队有男运动员56女运动员m用分层抽样抽出一个容量为n的样本在这个样本中随机取一个当队长的概率为且样本中的男队员比女队员多4m       

    解析】 (1)法一:因为抽样比为

    所以每类人中应抽选出的人数分别为

    4 800×247 200×366 400×321 600×8.故选D.

    法二:最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 8007 2006 4001 6006982

    所以每类人中应抽选出的人数分别为×10024×10036×10032×1008故选D.

    (2)由题意知n28设其中有男队员x女队员有y人.

    解得x16y12m42.

    答案】 (1)D (2)42

    (1)分层抽样中的两个等量关系

    总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

    (2)分层抽样问题类型及解题思路

    求某层应抽个体数根据该层所占总体的比例计算.

    已知某层个体数量求总体容量根据分层抽样即按比例抽样列比例式进行计算.

    确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.

    1(2020·陕西延安模拟)如饼图某学校共有教师120从中选出一个30人的样本其中被选出的青年女教师的人数为(  )

    A12  B6 

    C4  D3

    解析:D.青年教师的人数为120×30%36

    所以青年女教师为12故青年女教师被选出的人数为12×3.D.

    2某企业三月中旬生产ABC三种产品共3 000根据分层抽样的结果企业统计员制作了如下的统计表格:

    产品类别

    A

    B

    C

    产品数量()

     

    1 300

     

    样本容量()

     

    130

     

    由于不小心表格中AC产品的有关数据已被污染看不清楚统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10根据以上信息可得C的产品数量是       

    解析:设样本容量为x×1 300130所以x300.所以A产品和C产品在样本中共有300130170().设C产品的样本容量为yyy10170所以y80.所以C产品的数量为×80800.

    答案:800

          系统抽样(典例迁移)

    采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为12960分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的32人中编号落入区间[1450]的人做问卷A编号落入区间[451750]的人做问卷B其余的人做问卷C则抽到的人中做问卷B的人数为(  )

    A7  B9 

    C10  D15

    解析】 960人中用系统抽样方法抽取32则将整体分成32每组30因为第一组抽到的号码为9则第二组抽到的号码为39n组抽到的号码为an930·(n1)30n2145130n21750n所以n161725共有2516110()

    答案】 C

    迁移探究】 (变条件)若本例中条件变为若第5组抽到的号码为129求第1组抽到的号码.

    解:设第1组抽到的号码为x则第5组抽到的号码为x(51)×30x(51)×30129解得x9因此第1组抽到的号码为9.

    系统抽样的特点

    (1)适用于元素个数很多且均衡的总体.

    (2)各个个体被抽到的机会均等.

    (3)总体分组后在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样.

    (4)如果总体容量N能被样本容量n整除则抽样间隔为k.

    [提醒] 如果总体容量N不能被样本容量n整除可随机地从总体中剔除余数然后再按系统抽样的方法抽样.

    1某单位有840名职工现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查840人按12840随机编号则抽取的42人中编号落入区间[481720]的人数为(  )

    A11  B12 

    C13  D14

    解析:B.由题意得抽样间隔为20.所以在区间[481720]抽取12()

    2(2020·内蒙古呼和浩特第一次质量普查)某班共有学生60座位号分别为010260.现根据坐位号用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知03号、18号、48号同学在样本中则样本中另外一位同学的座位号为        号.

    解析:由题意知抽样间隔f15

    因为03号、18号、48号同学在样本中

    所以样本中另外一位同学的座位号为181533号.

    答案:33

    [基础题组练]

    1完成下列两项调查:从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100调查社会购买能力的某项指标;从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次是(  )

    A简单随机抽样系统抽样

    B分层抽样简单随机抽样

    C系统抽样分层抽样

    D①②都用分层抽样

    解析:B.因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响而社区中各个家庭收入差别明显所以用分层抽样法;从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况个体之间差别不大且总体和样本容量较小所以用简单随机抽样法故选B.

    2某班有34位同学座位号记为010234用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始由左到右依次选取两个数字则选出来的第4个志愿者的座号是(  )

    49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35

    20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06

    88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83

    92 12 06

    A23  B09 

    C02  D16

    解析:D.从随机数表第一行的第6列数字3开始由左到右依次选取两个数字不超过34的依次为2132091617故第4个志愿者的座号为16.

    3(2020·陕西汉中重点中学联考)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查人数如下表所示:

     

    不喜欢

    喜欢

    男性青年观众

    30

    10

    女性青年观众

    30

    50

    现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研若在不喜欢的男性青年观众中抽取了6n(  )

    A12  B16 

    C20  D24

    解析:D.由题意得解得n24.故选D.

    4某学校采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1800进行编号.已知从334816个数中抽到的数是39则在第1小组116中随机抽到的数是(  )

    A5  B7 

    C11  D13

    解析:B.800名学生分成50每组16各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列39在第3组.所以第1组抽到的数为39327.故选B.

    5某单位200名职工的年龄分布情况如图现要从中抽取40名职工作样本若用分层抽样方法40岁以下年龄段应抽取        人.

    解析:由年龄分布情况图可得40岁以下年龄段应抽取40×50%20()

    答案:20

    6(2020·惠州市第二次调研)某班共有56学号依次为12356现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知学号为23044的同学在样本中则样本中还有一位同学的学号为       

    解析:由题意需要将56人按学号从小到大分成4每组抽取第2个学号对应的同学所以还有一位同学的学号为1×14216.

    答案:16

    7(2020·开封市定位考试)某工厂生产ABC三种不同型号的产品产品数量之比为k53现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本已知A种型号产品共抽取了24C种型号产品抽取的件数为       

    解析:依题意得解得k2所以C种型号产品抽取的件数为×12036.

    答案:36

    8某初级中学共有学生2 000各年级男、女生人数如下表:

     

    初一年级

    初二年级

    初三年级

    女生

    373

    x

    y

    男生

    377

    370

    z

    已知从全校学生中随机抽取1抽到初二年级女生的概率是0.19.

    (1)x的值;

    (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生问应在初三年级抽取多少名?

    解:(1)因为0.19所以x380.

    (2)初三年级人数为yz2 000(373377380370)500现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生应在初三年级抽取的人数为×50012()

    [综合题组练]

    1用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本其中某一个体a第一次被抽到的可能性与第二次被抽到的可能性分别是(  )

    A.   B. 

    C.  D.

    解析:A.在抽样过程中个体a每一次被抽中的概率是相等的因为总体容量为10故个体a第一次被抽到的可能性与第二次被抽到的可能性均为故选A.

    2某工厂的一、二、三车间在201811月份共生产了3 600双皮靴在出厂前检查这批产品的质量决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为abcabc成等差数列则二车间生产的产品数为(  )

    A800  B1 000 

    C1 200  D1 500

    解析:C.因为abc成等差数列所以2bac所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的根据分层抽样的性质可知二车间生产的产品数占产品总数的所以二车间生产的产品数为3 600×1 200.故选C.

    3一个总体中有90个个体随机编号01289依从小到大的编号顺序平均分成9个小组组号依次为1239.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本规定:如果在第1组随机抽取的号码为m那么在第k组中抽取的号码个位数字与mk的个位数字相同m8则在第8组中抽取的号码是       

    解析:由题意知m8k8mk16也就是第8组抽取的号码个位数字为6十位数字为817故抽取的号码为76.

    答案:76

    4(应用型)某高中在校学生有2 000人.为了响应阳光体育运动的号召学校开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛各年级参与比赛的人数情况如下表:

     

    高一年级

    高二年级

    高三年级

    跑步

    a

    b

    c

    登山

    x

    y

    z

    其中abc235全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度从中抽取一个200人的样本进行调查则从高二年级参与跑步的学生中应抽取        人.

    解析:根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×120所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×36.

    答案:36

     

     

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