2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第二章　第1讲　函数及其表示

第1讲　函数及其表示

一、知识梳理

1．函数与映射的概念

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

[注意]　函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

[注意]　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

二、教材衍化

1．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是(　　)

答案：C

2．下列哪个函数与y＝x相等(　　)

A．y＝　　　　　　　 B．y＝2log2x

C．y＝  D．y＝()3

答案：D

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)

(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)

(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)

(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　)

(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×

二、易错纠偏

(1)对函数概念理解不透彻；

(2)解分段函数不等式忽视范围．

1．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)

A．y＝()2　　　　　 B．y＝3＋1

C．y＝＋1  D．y＝＋1

解析：选B.对于A.函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．

2．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为        ．

解析：当x<1时，|x|≥1，所以x≥1或x≤－1.

所以x≤－1；

当x≥1时，3x－5≥1，所以x≥2.

所以x≥2；所以x的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．

答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)

　　　　　　函数的定义域(多维探究)

角度一　求函数的定义域

(2020·陕西汉中一模)函数f(x)＝＋ln(2x＋1)的定义域为(　　)

A.　　　　　　 B.

C.  D.

【解析】　要使函数f(x)有意义，需满足解得－<x<2.所以函数f(x)的定义域为.故选D.

【答案】　D

求函数定义域的两种方法

[提醒]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

角度二　已知函数的定义域求参数

若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是        ．

【解析】　由题意可得mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．

当m＝0时，1≥0恒成立；

当m≠0时，则

解得0<m≤4.

综上可得0≤m≤4.

【答案】　[0，4]

已知函数定义域求参数取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．

1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(　　)

A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(1，2)

C．(0，2)  D．[1，2]

解析：选B.要使函数有意义，则

解得1<x<2.

所以函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(1，2)．

2．如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)

A．－2  B．－1

C．1  D．2

解析：选D.因为－2x＋a>0，

所以x<，所以＝1，所以a＝2.

3．(2020·山东安丘质量检测)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f＋的定义域为(　　)

A．[0，3]  B．[0，2]

C．[1，2]  D．[1，3]

解析：选A.由题意，可知x满足解得0≤x≤3，即函数g(x)的定义域为[0，3]，故选A.

　　　　　　函数的解析式(师生共研)

(1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为        ．

(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为        ．

(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为        ．

【解析】　(1)(换元法)令＋1＝t，由于x>0，

所以t>1且x＝，

所以f(t)＝lg，

即f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．

(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

又f(0)＝c＝3.

所以f(x)＝ax2＋bx＋3，

所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.

所以

所以

所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.

(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①

将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②

由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，

所以f(x)＝2x.

【答案】　(1)f(x)＝lg(x＞1)　(2)f(x)＝x2－x＋3　(3)f(x)＝2x

求函数解析式的4种方法

1．(一题多解)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝        ．

解析：法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，

所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.

因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，

所以解得

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

答案：x2－5x＋9(x∈R)

2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝        ．

解析：因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．

答案：－x(x＋1)

　　　　　　分段函数(多维探究)

角度一　求分段函数的函数值

(1)(2020·合肥一检)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　)

A．－  B．2

C．4  D．11

(2)(2020·山西太原三中模拟)设函数f(x)＝若f(m)＝3，则f＝        ．

【解析】　(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C.

(2)当m≥2时，m2－1＝3，所以m＝2或m＝－2(舍)；

当0<m<2时，log2m＝3，所以m＝8(舍)．

所以m＝2.所以f＝f＝log2＝－1.

【答案】　(1)C　(2)－1

分段函数的求值问题的解题思路

(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．　

角度二　分段函数与方程、不等式问题

(1)(一题多解)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝，则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]  B．(0，＋∞)

C．(－1，0)  D．(－∞，0)

【解析】　(1)法一：当0＜a＜1时，a＋1＞1，

所以f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.

由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，

所以a＝.

此时f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.

当a≥1时，a＋1＞1，

所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.

由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．

综上，f＝6，故选C.

法二：因为当0＜x＜1时，f(x)＝，为增函数，

当x≥1时，f(x)＝2(x－1)，为增函数，

又f(a)＝f(a＋1)，

所以＝2(a＋1－1)，

所以a＝.

所以f＝f(4)＝6.

(2)法一：①当即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.

因此不等式的解集为(－∞，－1]．

②当时，不等式组无解．

③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．

④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．

综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．

故选D.

法二：因为f(x)＝

所以函数f(x)的图象如图所示．

由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.

此时x≤－1.

当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，

满足f(x＋1)＜f(2x)．

此时－1＜x＜0.

综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．

故选D.

【答案】　(1)C　(2)D

有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．

1．已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)

A．－2  B．4

C．2  D．－4

解析：选B.由题意得f＝2×＝.

f＝f＝f＝2×＝.

所以f＋f＝4.

2．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1，＋∞)  B．(2，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析：选D.当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时．不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

3．(2020·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝        ．

解析：由题意得a>0.当0<a<1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝.解得a＝，则f＝f(4)＝8，

当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解．

答案：8

核心素养系列2　数学抽象——函数的新定义问题

所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．

(2020·陕西延安模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图像恰好经过n(n∈N＋)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：

①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；

③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.

其中是一阶整点函数的是(　　)

A．①②③④  B．①③④

C．①④  D．④

【解析】　对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；

对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；

对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.

【答案】　C

本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解.

1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．

2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：

(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；

(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.

①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；

以上三个函数中，        是“优美函数”．

解析：由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．

答案：②

[基础题组练]

1．函数y＝的定义域为(　　)

A．(1，＋∞)  B．[1，＋∞)

C．(1，2)∪(2，＋∞)  D．(1，2)∪[3，＋∞)

解析：选C.由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函数y＝的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．

2．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)

A．－   B.

C.  D．－

解析：选B.令t＝x－1，则x＝2t＋2，

所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，

所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.

3．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)＝

则f(5)的值为(　　)

A．－7  B．－1

C．0  D.

解析：选D.f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故选D.

4．已知f＝＋，则f(x)等于(　　)

A．(x＋1)2(x≠1)  B．(x－1)2(x≠1)

C．x2－x＋1(x≠1)  D．x2＋x＋1(x≠1)

解析：选C.f＝＋＝－＋1，令＝t(t≠1)，则f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．

5．设函数f(x)＝则f(f(2))＝        ，函数f(x)的值域是        ．

解析：因为f(2)＝，

所以f(f(2))＝f＝－－2＝－.

当x>1时，f(x)∈(0，1)，

当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，

所以f(x)∈[－3，＋∞)．

答案：－　[－3，＋∞)

6．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为        ．

解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝

答案：f(x)＝

7．已知f(x)＝则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是        ．

解析：由题意知或

解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4，2]．

答案：[－4，2]

8．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)画出f(x)的图象．

解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝

(2)f(x)的图象如图所示．

[综合题组练]

1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B.①y＝3－x的定义域与值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.

2．(创新型)设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则(　　)

A．(f·f)(x)＝f(x)   B．(f·g)(x)＝f(x)

C．(g·f)(x)＝g(x)   D．(g·g)(x)＝g(x)

解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.

3．(2020·河南驻马店模拟考试)已知函数f(x)＝则f(x＋1)－9≤0的解集为        ．

解析：因为f(x)＝

所以当x＋1≤0时，解得－4≤x≤－1；

当x＋1>0时，解得x>－1.

综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．

答案：[－4，＋∞)

4．(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：

①f(x)＝x2；②f(x)＝；

③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.

其中是“美丽函数”的序号有        ．

解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．

①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；

②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；

③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；

④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.

答案：②③