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2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第一章 第1讲 集合的概念与运算
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第1讲 集合的概念与运算
一、知识梳理
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N+(或N*)
Z
Q
R
[注意] N为自然数集(即非负整数集),包含0,而N+和N*的含义是一样的,表示正整数集,不包含0.
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A,B中元素相同
A=B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U且x∉A}
常用结论
(1)A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.
(2)A∩A=A,A∩∅=∅.
(3)A∪A=A,A∪∅=A.
(4)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
二、教材衍化
1.若集合P={x∈N|x≤},a=2,则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆P D.a∉P
解析:选D.因为a=2不是自然数,而集合P是不大于的自然数构成的集合,所以a∉P.故选D.
2.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________.
解析:由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个).
答案:64
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(2)若a在集合A中,则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB,则A⊆B且A≠B.( )
(4)N+NZ.( )
(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、易错纠偏
(1)忽视集合的互异性致错;
(2)集合运算中端点取值致错;
(3)忘记空集的情况导致出错.
1.已知集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},则∁UA=________.
解析:因为A={x|x=m2,m∈U}={0,1},所以∁UA={-1}.
答案:{-1}
2.已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},B={x|2
解析:由已知得A={x|12}.
答案:(2,3) (1,4) (-∞,1]∪(2,+∞)
3.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________.
解析:易得M={a}.因为M∩N=N,所以N⊆M,所以N=∅或N=M,所以a=0或a=±1.
答案:0或1或-1
集合的基本概念(师生共研)
(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A且y∈A且x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6
C.8 D.10
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
【解析】 (1)由x∈A,y∈A,x-y∈A,得x-y=1或x-y=2或x-y=3或x-y=4,所以集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},所以集合B中有10个元素.
(2)因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,解得m=-或m=1(舍去),
当m=-时,m+2=≠3,符合题意.所以m=-.
【答案】 (1)D (2)-
与集合中元素有关问题的求解策略
1.已知集合A={x|x∈Z,且∈Z},则集合A中的元素个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选C.因为∈Z,
所以2-x的取值有-3,-1,1,3,
又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.
2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析:选C.因为{1,a+b,a}=,a≠0,所以a+b=0,则=-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
3.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选A.若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;
当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;
当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;
当-3∈B时,1-(-3)=4∉A,
所以B={-3},故集合B中元素的个数为1.
集合间的基本关系(师生共研)
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m
【解析】 (1)由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4},又因为A⊆C⊆B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}.
(2)当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.
当m>0时,因为A={x|-1
当B⊆A时,在数轴上标出两集合,如图,
所以所以0
综上所述,m的取值范围为(-∞,1].
【答案】 (1)D (2)(-∞,1]
[提醒] 题目中若有条件B⊆A,则应分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.
1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-
A.A∩B=∅ B.A∪B=R
C.B⊆A D.A⊆B
解析:选B.因为A={x|x>2或x<0},因此A∪B={x|x>2或x<0}∪{x|-
2.已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N+},则集合A的真子集的个数为( )
A.7 B.8
C.15 D.16
解析:选A.法一:A={x|-1≤x≤3,x∈N+}={1,2,3},其真子集有:∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个.
法二:因为集合A中有3个元素,所以其真子集的个数为23-1=7(个).
3.设集合A={x|1
A.{a|a≤2} B.{a|a≤1}
C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}
解析:选D.由A∩B=A,可得A⊆B,又A={x|1
集合的基本运算(多维探究)
角度一 集合的运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=( )
A.{1,6} B.{1,7}
C.{6,7} D.{1,6,7}
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U=R,集合A={x|-3
A.{x|x≤-3或x≥1} B.{x|x<-1或x≥3}
C.{x|x≤3} D.{x|x≤-3}
【解析】 (1)依题意得∁UA={1,6,7},故B∩∁UA={6,7}.故选C.
(2)因为B={x|x≥-1},A={x|-3-3},所以∁U(A∪B)={x|x≤-3}.故选D.
【答案】 (1)C (2)D
集合基本运算的求解策略
角度二 利用集合的运算求参数
(1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.-12
C.a≥-1 D.a>-1
(2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.4
【解析】
(1)因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1.
(2)根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故a=4.
【答案】 (1)D (2)D
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.
1.(2019·高考天津卷)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )
A.{2} B.{2,3}
C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
解析:选D.通解:因为A∩C={1,2},B={2,3,4},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4}.故选D.
优解:因为B={2,3,4},所以(A∩C)∪B中一定含有2,3,4三个元素,故排除A,B,C,选D.
2.(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-1≥0},则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{-1} B.{0}
C.{-1,0} D.{-1,0,1}
解析:选B.阴影部分对应的集合为A∩∁RB,B={x|x2-1≥0}={x|x≤-1或x≥1},则∁RB={x|-1
3.已知集合A={x|x2≥4},B={m}.若A∪B=A,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.[2,+∞)
C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析:选D.因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得m≥2或m≤-2.
4.已知全集U=R,函数y=ln(1-x)的定义域为M,集合N={x|x2-x<0},则下列结论正确的是( )
A.M∩N=N B.M∩(∁UN)=∅
C.M∪N=U D.M⊆(∁UN)
解析:选A.由题意知M={x|x<1},N={x|0
核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查考生对新概念的理解,充分体现了核心素养中的数学抽象.
定义集合的商集运算为={x|x=,m∈A,n∈B}.已知集合A={2,4,6},B={x|x=-1,k∈A},则集合∪B中的元素个数为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】 由题意知,B={0,1,2},={0,,,,1,},则∪B={0,,,,1,,2},共有7个元素,故选B.
【答案】 B
解决集合创新型问题的方法
(1)要分析新定义的特点和本质,认清新定义对集合元素的要求,结合题目要求进行转化,并将其运用到具体的解题过程中.
(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等),将新定义问题转化到已学的知识中进行求解.
1.如果集合A满足若x∈A,则-x∈A,那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A={2x,0,x2+x},且A是对称集合,集合B是自然数集,则A∩B=________.
解析:由题意可知-2x=x2+x,
所以x=0或x=-3.
而当x=0时不符合元素的互异性,所以舍去.
当x=-3时,A={-6,0,6},
所以A∩B={0,6}.
答案:{0,6}
2.设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知集合A={x|0
解析:由已知A={x|0
又由新定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},
结合数轴得A⊗B={0}∪[2,+∞).
答案:{0}∪[2,+∞)
[基础题组练]
1.已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>1},则∁UA=( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-1,1) D.[-1,1]
解析:选D.因为全集U=R,集合A={x|x<-1或x>1},所以∁UA={x|-1≤x≤1},故选D.
2.(2020·陕西西安模拟)设集合A={x∈Z|x>4},B={x|x2<100},则A∩B的元素个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:选C.因为B={x|-10
3.已知集合A={0},B={-1,0,1},若A⊆C⊆B,则符合条件的集合C的个数为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:选C.由题意得,含有元素0且是集合B的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},即符合条件的集合C共有4个.故选C.
4.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.(-2,1)
B.[-1,0]∪[1,2)
C.(-2,-1)∪[0,1]
D.[0,1]
解析:选C.因为集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},所以A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},所以A∪B=(-2,1],A∩B=[-1,0),所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)=(-2,-1)∪[0,1],故选C.
5.(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},则A∩B=______,∁UA=______.
解析:因为全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},所以A∩B={3},则∁UA={2,5}.
答案:{3} {2,5}
6.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=________.
解析:由于A∪B={x|x≤0或x≥1},结合数轴,∁U(A∪B)={x|0
答案:{x|0
7.已知集合A={1,2,3,4},集合B={x|x≤a,a∈R},A∪B=(-∞,5],则a的值是________.
解析:因为集合A={1,2,3,4},集合B={x|x≤a,a∈R},A∪B=(-∞,5],所以a=5.
答案:5
8.已知集合A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}.
(1)当m=1时,求A∪B;
(2)当B⊆∁RA时,求实数m的取值范围.
解:(1)因为m=1时,B={x|1≤x<4},
所以A∪B={x|-1
(2)∁RA={x|x≤-1或x>3}.
当B=∅时,即m≥1+3m,解得m≤-;
当B≠∅时,要使B⊆∁RA成立,
则或解得m>3.
综上可知,实数m的取值范围是∪(3,+∞).
[综合题组练]
1.已知集合M={y|y=x-|x|,x∈R},N=,则下列选项正确的是( )
A.M=N B.N⊆M
C.M=∁RN D.∁RN⃘M
解析:选C.由题意得M={y|y≤0},N={y|y>0},所以∁RN={y|y≤0},M=∁RN.故C正确,A,B,D错误.
2.(创新型)如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|2x-x2≥0},B={y|y=3x,x>0},则A⊗B=( )
A.{x|0
C.{x|x≤1或x≥2} D.{x|0≤x≤1或x>2}
解析:选D.因为A={x|2x-x2≥0}=[0,2],B={y|y=3x,x>0}=(1,+∞),所以A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],由题图知A⊗B=[0,1]∪(2,+∞),故选D.
3.(2020·江西九江模拟)集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},U=R.若M∩(∁UN)=∅,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
解析:选B.由集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},可得M=,∁UN=.要使M∩(∁UN)=∅,则-≤-,解得a≥1,故选B.
4.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________.
解析:集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],
因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,
即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].
答案:(-∞,-2]
第1讲 集合的概念与运算
一、知识梳理
1.集合与元素
(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N+(或N*)
Z
Q
R
[注意] N为自然数集(即非负整数集),包含0,而N+和N*的含义是一样的,表示正整数集,不包含0.
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A,B中元素相同
A=B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∩B={x|x∈A且x∈B}
∁UA={x|x∈U且x∉A}
常用结论
(1)A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.
(2)A∩A=A,A∩∅=∅.
(3)A∪A=A,A∪∅=A.
(4)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
二、教材衍化
1.若集合P={x∈N|x≤},a=2,则( )
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a}⊆P D.a∉P
解析:选D.因为a=2不是自然数,而集合P是不大于的自然数构成的集合,所以a∉P.故选D.
2.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________.
解析:由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个).
答案:64
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(2)若a在集合A中,则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB,则A⊆B且A≠B.( )
(4)N+NZ.( )
(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、易错纠偏
(1)忽视集合的互异性致错;
(2)集合运算中端点取值致错;
(3)忘记空集的情况导致出错.
1.已知集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},则∁UA=________.
解析:因为A={x|x=m2,m∈U}={0,1},所以∁UA={-1}.
答案:{-1}
2.已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},B={x|2
答案:(2,3) (1,4) (-∞,1]∪(2,+∞)
3.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________.
解析:易得M={a}.因为M∩N=N,所以N⊆M,所以N=∅或N=M,所以a=0或a=±1.
答案:0或1或-1
集合的基本概念(师生共研)
(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A且y∈A且x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6
C.8 D.10
(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
【解析】 (1)由x∈A,y∈A,x-y∈A,得x-y=1或x-y=2或x-y=3或x-y=4,所以集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},所以集合B中有10个元素.
(2)因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m=1不符合题意,舍去;
当2m2+m=3时,解得m=-或m=1(舍去),
当m=-时,m+2=≠3,符合题意.所以m=-.
【答案】 (1)D (2)-
与集合中元素有关问题的求解策略
1.已知集合A={x|x∈Z,且∈Z},则集合A中的元素个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选C.因为∈Z,
所以2-x的取值有-3,-1,1,3,
又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.
2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析:选C.因为{1,a+b,a}=,a≠0,所以a+b=0,则=-1,所以a=-1,b=1.所以b-a=2.
3.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选A.若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;
当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;
当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;
当-3∈B时,1-(-3)=4∉A,
所以B={-3},故集合B中元素的个数为1.
集合间的基本关系(师生共研)
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0
C.3 D.4
(2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m
(2)当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.
当m>0时,因为A={x|-1
所以所以0
【答案】 (1)D (2)(-∞,1]
[提醒] 题目中若有条件B⊆A,则应分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.
1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-
C.B⊆A D.A⊆B
解析:选B.因为A={x|x>2或x<0},因此A∪B={x|x>2或x<0}∪{x|-
A.7 B.8
C.15 D.16
解析:选A.法一:A={x|-1≤x≤3,x∈N+}={1,2,3},其真子集有:∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个.
法二:因为集合A中有3个元素,所以其真子集的个数为23-1=7(个).
3.设集合A={x|1
C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}
解析:选D.由A∩B=A,可得A⊆B,又A={x|1
集合的基本运算(多维探究)
角度一 集合的运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=( )
A.{1,6} B.{1,7}
C.{6,7} D.{1,6,7}
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U=R,集合A={x|-3
C.{x|x≤3} D.{x|x≤-3}
【解析】 (1)依题意得∁UA={1,6,7},故B∩∁UA={6,7}.故选C.
(2)因为B={x|x≥-1},A={x|-3
【答案】 (1)C (2)D
集合基本运算的求解策略
角度二 利用集合的运算求参数
(1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.-12
C.a≥-1 D.a>-1
(2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.4
【解析】
(1)因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1.
(2)根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故a=4.
【答案】 (1)D (2)D
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.
1.(2019·高考天津卷)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )
A.{2} B.{2,3}
C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
解析:选D.通解:因为A∩C={1,2},B={2,3,4},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4}.故选D.
优解:因为B={2,3,4},所以(A∩C)∪B中一定含有2,3,4三个元素,故排除A,B,C,选D.
2.(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-1≥0},则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{-1} B.{0}
C.{-1,0} D.{-1,0,1}
解析:选B.阴影部分对应的集合为A∩∁RB,B={x|x2-1≥0}={x|x≤-1或x≥1},则∁RB={x|-1
A.(-∞,-2) B.[2,+∞)
C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析:选D.因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得m≥2或m≤-2.
4.已知全集U=R,函数y=ln(1-x)的定义域为M,集合N={x|x2-x<0},则下列结论正确的是( )
A.M∩N=N B.M∩(∁UN)=∅
C.M∪N=U D.M⊆(∁UN)
解析:选A.由题意知M={x|x<1},N={x|0
核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查考生对新概念的理解,充分体现了核心素养中的数学抽象.
定义集合的商集运算为={x|x=,m∈A,n∈B}.已知集合A={2,4,6},B={x|x=-1,k∈A},则集合∪B中的元素个数为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】 由题意知,B={0,1,2},={0,,,,1,},则∪B={0,,,,1,,2},共有7个元素,故选B.
【答案】 B
解决集合创新型问题的方法
(1)要分析新定义的特点和本质,认清新定义对集合元素的要求,结合题目要求进行转化,并将其运用到具体的解题过程中.
(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等),将新定义问题转化到已学的知识中进行求解.
1.如果集合A满足若x∈A,则-x∈A,那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A={2x,0,x2+x},且A是对称集合,集合B是自然数集,则A∩B=________.
解析:由题意可知-2x=x2+x,
所以x=0或x=-3.
而当x=0时不符合元素的互异性,所以舍去.
当x=-3时,A={-6,0,6},
所以A∩B={0,6}.
答案:{0,6}
2.设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}.已知集合A={x|0
结合数轴得A⊗B={0}∪[2,+∞).
答案:{0}∪[2,+∞)
[基础题组练]
1.已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>1},则∁UA=( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-1,1) D.[-1,1]
解析:选D.因为全集U=R,集合A={x|x<-1或x>1},所以∁UA={x|-1≤x≤1},故选D.
2.(2020·陕西西安模拟)设集合A={x∈Z|x>4},B={x|x2<100},则A∩B的元素个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:选C.因为B={x|-10
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:选C.由题意得,含有元素0且是集合B的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},即符合条件的集合C共有4个.故选C.
4.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.(-2,1)
B.[-1,0]∪[1,2)
C.(-2,-1)∪[0,1]
D.[0,1]
解析:选C.因为集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},所以A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},所以A∪B=(-2,1],A∩B=[-1,0),所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)=(-2,-1)∪[0,1],故选C.
5.(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},则A∩B=______,∁UA=______.
解析:因为全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},所以A∩B={3},则∁UA={2,5}.
答案:{3} {2,5}
6.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=________.
解析:由于A∪B={x|x≤0或x≥1},结合数轴,∁U(A∪B)={x|0
解析:因为集合A={1,2,3,4},集合B={x|x≤a,a∈R},A∪B=(-∞,5],所以a=5.
答案:5
8.已知集合A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}.
(1)当m=1时,求A∪B;
(2)当B⊆∁RA时,求实数m的取值范围.
解:(1)因为m=1时,B={x|1≤x<4},
所以A∪B={x|-1
当B=∅时,即m≥1+3m,解得m≤-;
当B≠∅时,要使B⊆∁RA成立,
则或解得m>3.
综上可知,实数m的取值范围是∪(3,+∞).
[综合题组练]
1.已知集合M={y|y=x-|x|,x∈R},N=,则下列选项正确的是( )
A.M=N B.N⊆M
C.M=∁RN D.∁RN⃘M
解析:选C.由题意得M={y|y≤0},N={y|y>0},所以∁RN={y|y≤0},M=∁RN.故C正确,A,B,D错误.
2.(创新型)如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|2x-x2≥0},B={y|y=3x,x>0},则A⊗B=( )
A.{x|0
解析:选D.因为A={x|2x-x2≥0}=[0,2],B={y|y=3x,x>0}=(1,+∞),所以A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],由题图知A⊗B=[0,1]∪(2,+∞),故选D.
3.(2020·江西九江模拟)集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},U=R.若M∩(∁UN)=∅,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
解析:选B.由集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},可得M=,∁UN=.要使M∩(∁UN)=∅,则-≤-,解得a≥1,故选B.
4.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________.
解析:集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],
因为A⊆B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,
即实数a-b的取值范围是(-∞,-2].
答案:(-∞,-2]
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