2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第10章第2节　随机抽样

第二节　随机抽样

[最新考纲]　1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样的方法．

1．简单随机抽样

(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．

(3)应用范围：总体个体数较少．

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

(1)先将总体的N个个体编号；

(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；

(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；

(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

4．三种抽样方法的特点、联系及适用范围

1．无论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．

2．系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．

3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．

  (　　)

(2)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体． (　　)

(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．

  (　　)

(4)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取．              (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)

A．总体

B．个体

C．样本的容量

D．从总体中抽取的一个样本

A　[从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5 000名居民的阅读时间的全体是总体．]

2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是(　　)

A．10　　　B．11　　　C．12　　　D．16

D　[分段间隔为k＝＝13，则还有一个学生的学号为16.]

3．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(　　)

A．5,10,15,20,25   B．3,13,23,33,43

C．1,2,3,4,5   D．2,4,6,16,32

B　[分段间隔为k＝＝10，故选B.]

4．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为(　　)

A．33,34,33   B．25,56,19

C．20,40,30   D．30,50,20

B　[因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25,56,19.]

考点1　简单随机抽样

　抽签法与随机数法的适用情况

(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．

(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

　1.下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)

A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验

B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验

B　[因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．]

2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)

A.08　　　B．07　　　C．02　　　D．01

D　[从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.]

　随机数表中每一列数是由每一行的一个数字组成的，而不是4个数字组成的．

考点2　系统抽样

　系统抽样中所抽取编号的特点

系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．

　(1)(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　　)

A．8号学生　　　　　　　B．200号学生

C．616号学生   D．815号学生

(2)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为009，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)

A．7　　　　B．9　　　　C．10　　　　D．15

(1)C　(2)C　[(1)根据题意，系统抽样是等距抽样，

所以抽样间隔为＝10.

因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.

故选C.

(2)从960人中用系统抽样方法抽取32人，则将整体分成32组，每组30人，因为第一组抽到的号码为009，则第二组抽到的号码为039，第n组抽到的号码为an＝9＋30·(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝016,017，…，025，共有25－16＋1＝10(人)．]

[母题探究]

若本例(2)中条件变为“若第5组抽到的号码为129”，求第1组抽到的号码．

[解]　设第1组抽到的号码为x，则第5组抽到的号码为x＋(5－1)×30，由x＋(5－1)×30＝129，解得x＝9，因此第1组抽到的号码为009.

　系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．

　1.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽取一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一个产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为(　　)

A．73        B．78  C．77   D．76

B　[分段间隔为k＝＝5，则抽出的产品最小编号为3，从而抽到产品的最大编号为3＋15×5＝78，故选B.]

2．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按001,002，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 (　　)

A．11      B．12  C．13   D．14

B　[由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一人，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为＝12，故选B.]

•                                                                                                                    考点3　分层抽样
•                                                                                                                    　分层抽样问题类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．

(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．其中抽样比＝＝.

(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．

　(1)(2019·洛阳模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)

甲　　　　　　　　　　乙

A．100,10   B．100,20

C．200,10   D．200,20

(2)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于(　　)

A．9      B．10  C．12   D．13

(1)D　(2)D　[(1)由题得样本容量为(3 500＋2 000＋4 500)×2%＝10 000×2%＝200，

抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，则近视人数为40×0.5＝20，故选D.

(2)抽样比为＝，则n＝(120＋80＋60)＝13，故选D.]

　分层抽样中每一层的抽样比相同．

[教师备选例题]

某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为(　　)

A．25,25,25,25　　　　　 B．48,72,64,16

C．20,40,30,10   D．24,36,32,8

D　[法一：因为抽样比为＝，所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×＝24,7 200×＝36,6 400×＝32,1 600×＝8.

法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为×100＝24，×100＝36，×100＝32，×100＝8.]

　1.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于(　　)

A．54   B．90

C．45   D．126

B　[依题意得×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.]

2．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取        件．

18　[∵＝＝，

∴应从丙种型号的产品中抽取×300＝18(件)．]