2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十一章  计数原理、概率、随机变量及分布列第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础知识整合两个计数原理两个计数原理目标策略过程方法总数分类加法计数原理完成一件事两类不同的方案在第1类方案中有m种不同的方法在第2类方案中有n种不同的方法,N＝m＋n种不同的方法 分步乘法计数原理有两个步骤做第1步有m种不同的方法做第2步有n种不同的方法,N＝mn种不同的方法两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立，不重不漏,步步相依缺一不可1．快递员去某小区送快递，该小区共有四个出入口，每个出入口均可进出，则该快递员进出该小区的方案种数为(　　)A．6  B．8 C．16  D．14答案　C解析　方案种数为4×4＝16，故选C.2．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有(　　)A．3种  B．6种 C．7种  D．9种答案　C解析　买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有1种方案，因此共有方案3＋3＋1＝7(种)．3．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)A．2160  B．720 C．240  D．120答案　B解析　分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法．共有10×9×8＝720种分法．4．(2019·九江模拟)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)A．40  B．16 C．13  D．10答案　C解析　分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．5．高三某班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条祝福语，那么全班共写了________条祝福语．(用数字作答)答案　1560解析　由题意知两两彼此给对方写一条祝福语相当于每个同学都要写39条祝福语，所以全班共写了39＋39＋…＋39＝39×40＝1560条祝福语．6．(2019·宁波模拟)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．答案　260解析　区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．核心考向突破考向一　分类加法计数原理例1　(1)(2019·广西桂林模拟)如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是(　　)A．6  B．10 C．12  D．24答案　B解析　将图中左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3，右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论：若先取1，则有12345,12453,12435,14523,14235,14253，共6种取法；若先取4，则有45123,41235,41523,41253，共4种取法，故共有6＋4＝10种取法．(2)(2020·河北保定摸底)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　)A．8  B．7 C．6  D．5答案　B解析　根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有A＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况，若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种．故选B.(3)(2019·沈阳模拟)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________．答案　12解析　若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．使用分类加法计数原理时应注意的三方面 (1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的． (2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类． (3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的．[即时训练]　1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)A．4种  B．10种 C．18种  D．20种答案　B解析　依题意，得可能剩余一本画册或一本集邮册两种情况．第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有(　　)A．50个  B．45个 C．36个  D．35个答案　C解析　由题意，知十位上的数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8，共8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理，知符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．3．已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　)A．9  B．14 C．15  D．21答案　B解析　因为P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q，所以x∈{y，2}．所以当x＝2时，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况；当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况．故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.考向二　分步乘法计数原理例2　(1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A．24  B．18 C．12  D．9答案　B解析　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.(2)某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这个人把满足这种特殊要求的号买全，要花(　　)A．3360元  B．6720元 C．4320元  D．8640元答案　D解析　从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法．由分步乘法计数原理，知共有8×9×10×6＝4320种选法，要花4320×2＝8640元．(3)现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法．答案　1280解析　完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．利用分步乘法计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．[即时训练]　4.(2019·成都模拟)两对夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是(　　)A．12  B．24 C．36  D．48答案　B解析　首尾要排两位爸爸有A＝2种排法；两个小孩排在一起，再与两位妈妈排列有A·A＝12种排法，根据分步乘法计数原理共有2×12＝24种排法．故选B.5．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．答案　240解析　分步完成此事，第一步选1人去巴黎有4种方法，第二步选1人去伦敦有5种方法，第三步选1人去悉尼有4种方法，第四步选1人去莫斯科有3种方法，由分步乘法计数原理可知：共有4×5×4×3＝240种．6．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．答案　18　6解析　一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知共有3×3×2＝18个不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个偶函数．精准设计考向，多角度探究突破考向三　两个计数原理的综合应用角度　　与数字有关的问题例3　(1)(2019·山东济南模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)A．243      B．252 C．261    D．279答案　B解析　由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.(2)(2020·北京西城区模拟)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为(　　)A．56  B．54 C．53  D．52答案　D解析　在8个数字中任取2个不同的数字共可产生8×7＝56个对数值，在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，则满足条件的对数值共有56－4＝52个．角度　　与几何有关的问题例4　(1)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有(　　)A．8种  B．12种 C．16种  D．20种答案　B解析　正方体共有3组对面互不相邻．与正方体的每组对面相邻的面有4个，所以有3×4＝12(种)选法．(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 (　　)A．60  B．48 C．36  D．24答案　B解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.角度　　与涂色、种植有关的问题例5　(1)用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)A．120  B．160 C．180  D．240答案　C解析　根据题意，因为规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法，C有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．故选C.(2)(2019·四川泸州模拟)如图，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有3种不同的花供选种，要求在同一块中种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　)A．12  B．24 C．18  D．6答案　C解析　四块地种2种不同的花共有CA＝6种不同的种植方法，四块地种3种不同的花共有2A＝12种不同的种植方法，所以共有6＋12＝18种不同的种植方法，故选C.利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．[即时训练]　7.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)A．48      B．18 C．24   D．36答案　D解析　分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．8．(2019·衡水二中检测)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是(　　)A．12  B．24 C．30  D．36答案　C解析　按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×C×C＝24(种)，若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6(种)．综上可得不同的涂色方案的种数是30.9．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车辆尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　)A．5  B．24 C．32  D．64答案　D解析　5日至9日，即5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8种；第二步安排偶数日出行分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4种，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4种，共计4＋4＝8种．根据分步计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64.故选D.10．(2019·合肥市模拟)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为(　　)A．96  B．114 C．168  D．240答案　C解析　首先在a中种植，有4种不同方法，其次在b中种植，有3种不同方法，再次在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，最后在e中种植，有2种不同方法，所以不同的种植方法共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C.赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216种．