高三数学一轮复习： 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：
1．从考查题型看：一般有1～2个客观题，1个解答题；从考查分值看，占10～22分，基础题主要考查对基础知识和基本方法的应用意识，中档题主要考查转化与化归思想及运算求解能力．
2．从考查知识点看：主要考查计数原理、排列与组合、二项式定理、随机事件的概率、古典概型与几何概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差．
3．从命题思路上看：
(1)计数原理、排列组合与古典概型相结合考查．
(2)几何概型与线性规划、定积分等知识相结合考查．
(3)随机事件的概率、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差和统计知识交汇考查．
(4)相互独立事件、二项分布、超几何分布、正态分布、实际问题等其他知识交汇考查．
[导学心语]
1．全面系统复习，深刻理解知识本质
(1)重视计数原理、二项式定理的理解，深刻把握排列组合、随机事件、古典概型、几何概型、离散型随机变量及其分布列、条件概率、二项分布、离散型随机变量的均值与方差、正态分布等概念，研究事件的概率，注意该事件的特征，用适当的概率模型求解．
(2)注意各类概率公式和概率模型的理解和应用，掌握其适用条件和用法．
2．抓住重点、针对训练
通过对近5年全国卷高考试题分析，可以预测，在2017年，本章问题考查的重点是：
(1)计数原理、二项式定理、古典概型、几何概型．
(2)离散型随机变量及其分布列、期望与方差．做针对性训练，通过小题强化概率各种题型的计算，通过解答题训练巩固离散型随机变量及分布列问题．
3．重视转化与化归思想的应用
研究计数原理、概率、随机变量及其分布列问题，转化与化归思想贯穿始终，首先需要将实际问题转化为相应的计数问题、排列组合问题、概率计算问题、离散型随机变量的分布列与均值、方差等的计算问题，其次将概率的计算转化为计数问题、长度或面积的计算问题，将求分布列问题转化为概率的计算问题，将复杂事件的概率计算转化为简单事件的概率计算．
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )
A．30 B.20
C.10 D.6
D [从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．]
3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B.42个
C.36个 D.35个
C [∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，
由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]
4．(2016·全国卷Ⅱ)如图10­1­1，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
图10­1­1
A．24 B.18
C.12 D.9
B [分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．]
5.现有4种不同的颜色要对如图10­1­2所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．
图10­1­2
48 [按A→B→C→D顺序分四步涂色，共4×3×2×2＝48种不同的着色方法．]
(1)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B.6种
C.10种 D.16种
(2)(2017·青岛二中月考)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
【导学号：01772376】
A．14 B.13
C.12 D.10
(1)B (2)B [(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲
同理，甲先传给丙时，满足条件有3种方法．
由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．
(2)①当a＝0时，有x＝－eq \f(b,2)，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
②当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，
(ⅰ)当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
(ⅱ)当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；
(ⅲ)当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．
∴有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13个．]
[规律方法] 1.第(2)题常见的错误：
(1)想当然认为a≠0；
(2)误认为a≠b.
2．分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．
[变式训练1] 从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B.4
C.6 D.8
D [以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.
以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，
∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个．]
(1)(2017·山东威海模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( )
A．Ceq \\al(2,6)·45种 B.Aeq \\al(2,6)·54种
C．Ceq \\al(2,6)·Aeq \\al(4,5)种 D.Ceq \\al(2,6)·54种
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
(1)D (2)120 [(1)有两个年级选择甲博物馆共有Ceq \\al(2,6)种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，
故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有Ceq \\al(2,6)×54种．
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120种．]
[规律方法] 1.利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．
2．在第(1)题中，除仅有两个年级选择甲博物馆外，其余4个年级易错误认为有45种选择方法．导致错选A项．
[变式训练2] (1)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为________．
(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________．(用数字作答)
(1)10 (2)8 [(1)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，
∴x有2种取法，y有5种取法，
由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10个．
(2)第1步把甲、乙分到不同班级有Aeq \\al(2,2)＝2种分法．
第2步分丙、丁：①丙、丁分到同一班级有2种分法，②丙、丁分到两个不同的班级有Aeq \\al(2,2)＝2种分法．
由计数原理，不同的分法为2×(2＋2)＝8种．]
(1)(2017·杭州调研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x