2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第2讲　排列与组合

第2讲　排列与组合基础知识整合1．排列与排列数(1)排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.2．组合与组合数(1)组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.3．排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝组合数公式C＝＝＝性质(1)A＝n！；(2)0！＝1(1)C＝1；(2)C＝；(3)C＋C＝C备注n，m∈N*且m≤n解决排列与组合问题的“四项基本原则”(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．1．若A＝10A，则n＝(　　)A．1  B．8 C．9  D．10答案　B解析　原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理，得n＝8.2．(2019·厦门模拟)5名男同学、6名女同学排成一排，要求男同学顺序一定且女同学顺序也一定，不同排法种数为(　　)A．C  B．2CC.   D.答案　A解析　共11名同学排成一排有11个位置．从11个位置中选出5个位置，共有C种选法，每一种选法的5个位置让男同学按着一定顺序去排，余下6个位置让女同学按一定顺序去排．3．若原来站成一排的4个人重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置上，则不同的站法种数为(　　)A．4  B．8 C．12  D．24答案　B解析　根据题意，分两步考虑：第一步，先从4个人里选1人，其位置不变，其他3人都不站在自己原来的位置上，站法有C＝4(种)；第二步，对于都不站在自己原来的位置上的3个人，有2种站法．故不同的站法共有4×2＝8(种)，故选B.4．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是(　　)A．20  B．19 C．10  D．9答案　B解析　“error”由5个字母组成，共有3个相同，这相当于5个人站队，只要给e，o选定位置，其余三个相同的字母r，位置固定，即所有拼写方式为A，error拼写错误的种数为A－1＝19.5．若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有(　　)A．84种  B．98种 C．112种  D．140种答案　D解析　由题意分析邀请的不同方法有：CC＋C＝112＋28＝140(种)．6．用0～9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　)A．324  B．328 C．360  D．648答案　B解析　首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A＝9×8＝72个，当0不排在末位时，有AAA＝4×8×8＝256个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．核心考向突破考向一　排列问题例1　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排一排，女生必须站在一起；(5)全体排一排，男生互不相邻；(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；(7)全体排一排，甲必须排乙前面；(8)全部排一排，甲不排在左端，乙不排在右端．解　(1)A＝2520种方法．(2)A＝5040种方法．(3)解法一：先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种方法．解法二：先排排头和排尾有A种方法，其余位置有A种排法，故共有A－A＝3600种方法．(4)将女生看成一个整体，用捆绑法，共有A·A＝576种方法．(5)先排女生有A种，再将男生插空有A种，故共有A·A＝1440种方法．(6)将甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲、乙有A种方法，再排中间三人有A种方法，最后将他们看作一个整体与剩下的2人全排列，有A种方法，故共有A·A·A＝720种方法．(7)＝2520种方法．(8)A－2A＋A＝3720种方法．1．求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中定序法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列间接法对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法2．解决有限制条件排列问题的策略(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．[即时训练]　1.用0,1,2,3,4,5这6个数字，(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?解　(1)符合要求的四位偶数可分为三类．第一类：0在个位时，有A个；第二类：2在个位时，千位从1,3,4,5中选定1个，有A种，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．由分类加法计数原理得，共有A＋2A·A＝156个．(2)先排0,2,4，再让1,3,5插空，总的排法共AA＝144种，其中0在排头，将1,3,5插在后3个空的排法共有A·A＝12种，此时构不成六位数，故符合要求的六位数的个数为144－12＝132.考向二　组合问题例2　某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选择？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)男生甲和女生乙当选；(5)最多有两名女生当选．解　(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选，故共有C·C＝350种．(2)两队长当选，共有C·C＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选．故共有C·C＋C·C＝825种．(或采用排除法：C－C＝825种)(4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余11人中选3人，有C＝165种．(5)最多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选．故选法共有C·C＋C·C＋C＝966种．1．组合问题常见的两类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．2．有限制条件的组合问题的解题思路从限制条件入手．因组合问题只是从整体中选出部分即可，相对来说较简单．常见情况有：①某些元素必选；②某些元素不选；③把元素分组，根据在各组中分别选多少，分类；④排除法．[即时训练]　2.(2020·山西康杰中学模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、历史两科中选考一科，从化学、生物、政治、地理四科中选考两科，则考生的选考方法共有(　　)A．6种  B．12种 C．18种  D．24种答案　B解析　从物理、历史两科中选考一科，有C＝2种方法，从化学、生物、政治、地理四科中选考两科，有C＝6种方法，所以考生共有2×6＝12种选考方法．故选B.3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．答案　16解析　根据题意，没有女生入选有C＝4种选法，从6位学生中任意选3人有C＝20种选法，故至少有1位女生入选的不同选法共有20－4＝16种．精准设计考向，多角度探究突破考向三　排列、组合的综合应用角度　　特殊元素(位置)问题例3　(1)(2019·福建漳州联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有(　　)A．34种  B．48种 C．96种  D．144种答案　C解析　特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C·A·A＝96(种)排法．故选C.(2)(2020·山西大同摸底)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为(　　)A．CA  B．CA C．CA  D．CA答案　C解析　先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C种选法，再排剩余的瓶子，有A种方法，故不同的放法共有CA种，故选C.角度　　相邻、相间问题例4　(1)(2019·江西吉安联考)某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有(　　)A．12种  B．24种 C．18种  D．36种答案　D解析　元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有C＝3种选法，再将2个“元素”安排坐四部电梯有A＝12种安排方法，则不同的乘坐方式有3×12 ＝36种．故选D.(2)(2019·湖北联考)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．答案　10解析　设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一个插入到将(n－3)个停车位排放好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10.角度　　分组、分配问题例5　(1)(2019·合肥模拟)现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为(　　)A．36  B．9 C．18  D．15答案　B解析　分配方案为2,1,1，其中有且仅有一个学生拿两本书，若他拿两本语文书，则此时共有CA种分法；若他拿一本语文书一本数学书，则此时共有C种分法．因此共有CA＋C＝9种不同的分法．故选B.(2)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．答案　360解析　将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．[即时训练]　4.(2020·惠州摸底)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为(　　)A．24  B．18 C．16  D．10答案　D解析　分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有CA种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋CA＝10.故选D.5．(2019·衡水中学高三上学期四调)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有________种．答案　120解析　①当甲排在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有A×A＝48种．②当甲排在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A×A＝36种．③当甲排在第三位，前两位分别是丙丁和不是丙丁两种情况，共有A×A＋A×A×A＝36种，因此共有48＋36＋36＝120种．6．(2019·湖南师范大学附中模拟)习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少去1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为________．答案　360解析　解法一：根据6名高级教师到甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少去1人，可分四种情况：①甲校安排1名教师，分配方案种数有C(CCA＋CCA)＝150；②甲校安排2名教师，分配方案种数有C(CCA＋CC)＝140；③甲校安排3名教师，分配方案种数有CCCA＝60；④甲校安排4名教师，分配方案种数有CCC＝10；由分类计数原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(种)分配方案．解法二：由6名教师到三所学校，每所学校至少去1人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.②对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC＝20(种)；李老师分配到四人组且该组不去甲校有CCA＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．②对于第二种情况，李老师分配到一人组有CCCA＝40(种)，李老师分配到三人组有CCCA＝120(种)，李老师分配到两人组有CCCA＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．③对于第三种情况，共有CCCC＝60(种)；综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．学科素养培优（二十一）相同元素的分配问题(隔板法)将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．(1)若每个盒子中至少有一个小球，则不同放法有多少种？(2)若每盒可空，则不同的放法有多少种？解　(1)将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“|”看作隔板，则如图○○|○○○○|○○○○|○○，隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数．这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应一种放法，所以不同的放法有C＝165(种)．(2)因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型．将三块隔板与12个球排成一排，则如图○○○||○○○○○|○○○○中的隔板将这一排球分成四块．从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即图中1,2,3,4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球．这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法．排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有C种排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有C种，即球的放法有C＝455(种)．答题启示隔板法的解题步骤(1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．(3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．(4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．对点训练1．某市拟成立一个由6名高中学生成立的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所重点中学，要求每所重点中学都有学生参加，那么不同名额分配方法的种数是(　　)A．10  B．20 C．24  D．28答案　A解析　如图所示，6个名额排成一列，6个名额之间有5个空，任找3个空插入隔板就是一种名额分配方法，故共有C＝10(种)分配方法．2．(2020·汕头市高三上学期期末)把分别写有1,2,3,4,5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．答案　36解析　先将卡片分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡片，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这5个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有C＝6种情况，再对应到3个人，有A＝6种情况，则共有6×6＝36种分法．