2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第4讲　随机事件的概率

第4讲　随机事件的概率基础知识整合1．概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(3)概率的几个基本性质①概率的取值范围：0≤P(A)≤1.②必然事件的概率：P(A)＝1.③不可能事件的概率：P(A)＝0.④概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．⑤对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．2．事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)A.   B.C.  D．1答案　C解析　设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是.2．(2020·宁夏固原检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为(　　)A．至多有2件次品  B．至多有1件次品C．至多有2件正品  D．至少有2件正品答案　B解析　∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件，也不是对立事件答案　C解析　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况加上“全是男生”构成全部基本事件，且不能同时发生，故事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”互为对立事件，且是互斥事件，故选C.4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为(　　)A．0.95  B．0.97 C．0.92  D．0.08答案　C解析　记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.5．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892则这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数)．答案　0.5173解析　男婴出生的频率依次约是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于这些频率非常接近0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约是0.5173.6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为________．答案　18解析　设该班到会的女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以＝，解得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人．核心考向突破考向一　事件的概念例1　从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解　从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．1．准确把握互斥事件与对立事件(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．[即时训练]　1.(2019·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案　D解析　A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．考向二　随机事件的概率与频率例2　某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10,20)，[20,30)，…，[50,60]，并整理得到如图频率分布直方图．(1)求a的值；(2)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率；(3)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．解　(1)根据频率分布直方图可知10×(a＋0.005＋0.01＋0.02＋0.03)＝1，解得a＝0.035.(2)根据题意，样本中年龄低于40岁的频率为：10×(0.01＋0.035＋0.03)＝0.75，所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率为0.75.(3)根据题意，春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为：15×0.1＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.05＝32.5(岁)．1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来描述随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义可求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[即时训练]　2.(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类 第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解　(1)由题意，知样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，故所求概率为＝0.025.(2)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．由古典概型的概率公式，得P(B)＝＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．精准设计考向，多角度探究突破考向三　互斥、对立事件的概率角度　　互斥事件的概率例3　(2019·唐山模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解　(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.角度　　对立事件的概率例4　(2020·扬州摸底)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．解　(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.求复杂的互斥事件的概率的一般方法 (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．[即时训练]　3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.