2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第8章第2讲　空间几何体的表面积和体积

第2讲　空间几何体的表面积和体积基础知识整合1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式  圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l 3．柱、锥、台和球的表面积和体积           名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πr2V＝πr3 1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．(4)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2019·福州二模)设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为(　　)A．100π  B.  C.  D.答案　D解析　由题意知切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球的半径R＝＝＝5，故球的体积V＝πR3＝π×53＝，即该西瓜的体积为.2．(2019·安徽蚌埠质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为(　　)A．π＋  B．π＋2 C．2π＋  D．2π＋2答案　A解析　由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成．故该几何体的体积为×π×12×2＋××2×2×2＝π＋.3．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)A．2  B．4 C．6  D．8答案　C解析　由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A1B1C1D1－ABCD.由三视图中的数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S底面＝×(1＋2)×2＝3.因为直四棱柱的高为2，所以体积V＝3×2＝6.故选C.4．(2019·北京东城区模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　) A．2＋  B．4＋C．2＋2  D．5答案　C解析　该三棱锥的直观图如图所示，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2＋2.故选C.5．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的表面积和体积分别为________，________.答案　36π　36π解析　底面中心与C′的连线即为半径，设球的半径为R，则R2＝()2＋()2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π.6．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．答案　解析　由题意知，DC边的中点就是球心O，∵它到D，A，C，B四点的距离相等，∴球的半径R＝CD，又AB＝BC＝，∴AC＝，∴CD＝＝3，∴R＝，∴V球O＝3＝.核心考向突破  考向一　几何体的表面积　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　(1)(2019·衡水模拟)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是(　　)A．π＋4＋4  B．2π＋4＋4C．2π＋4＋2  D．2π＋2＋4答案　B解析　由几何体的三视图可知，该几何体是由半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如图所示，其表面积S＝2×π×12＋π×1×1＋2××2×1＋(＋＋2)×2－2×1＝2π＋4＋4.故选B.(2)(2019·郑州二模)如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为________．答案　8＋4解析　由三视图，知该几何体为三棱锥，将该几何体放在长方体中如图所示，由题意可知长方体的长、宽、高分别为2,2,4，由BC＝2，CD＝2计算，得BD＝2，AD＝2，AB＝2，所以S△BCD＝×2×2＝2，S△ADC＝×2×2＝2，S△ABC＝×2×2＝2，因为△ABD为等腰三角形，高为＝3，所以S△ABD＝×2×3＝6，所以该几何体的表面积为2＋2＋2＋6＝8＋4. 几类空间几何体表面积的求法 (1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和． (3)简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补． (4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系． [即时训练]　1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．20π  B．24π C．28π  D．32π答案　C解析　由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.2．(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为(　　)A．8＋4＋2  B．6＋4＋4C．6＋2＋2  D．8＋2＋2答案　C解析　由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为2，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为，可得这个几何体的表面积为6＋2＋2，故选C.   精准设计考向，多角度探究突破考向二　几何体的体积角度1　　补形法求体积例2　(1)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)A．90π  B．63π C．42π  D．36π答案　B解析　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.(2)(2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．答案　40解析　由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S＝(2＋4)×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又正方体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.角度2　　分割法求体积例3　(1)(2019·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(　　)A．5000立方尺  B．5500立方尺C．6000立方尺  D．6500立方尺答案　A解析　该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5(立方丈)＝5000(立方尺)．故选A.(2)(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是(　　)A．158  B．162 C．182  D．324答案　B解析　如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝×3＋×3＝27，因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.故选B.角度3　　转化法求体积例4　(1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A－A1EF的体积是________．答案　8解析　由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离(等于点C到平面A1ABB1的距离)为×4＝2，则V三棱锥A－A1EF＝V三棱锥F－A1AE＝S△A1AE×2＝××6×4×2＝8.(2)在三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，三棱锥P－ABC的体积为V2，则＝________.答案　解析　如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以S△BDE＝S△PBC.又因为三棱锥A－BDE与三棱锥A－PBC的高相等，所以＝. (1)处理体积问题的思路 (2)求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换   [即时训练]　3.(2019·河北沧州质检)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是(　　)A．50  B．75 C．25.5  D．37.5答案　D解析　如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C1－MNB1A1所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.图中几何体ABCC1MN为剩余部分，因为AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，所以剩余部分的体积V＝V三棱柱A1B1C1－ABC－V四棱锥C1－A1B1NM＝×5×5×5－×3×5×5＝37.5，故选D.4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．答案　解析　三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为线段AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以V三棱锥F－DD1E＝××1＝.考向三　与球有关的切、接问题例5　(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)A．8π  B．4π C．2π  D.π答案　D解析　设PA＝PB＝PC＝2a，则EF＝a，FC＝，∴EC2＝3－a2.在△PEC中，cos∠PEC＝.在△AEC中，cos∠AEC＝.∵∠PEC与∠AEC互补，∴3－4a2＝1，a＝，故PA＝PB＝PC＝.又AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC，∴外接球的直径2R＝ ＝，∴R＝，∴V＝πR3＝π×3＝π.故选D.(2)(2019·沈阳市东北育才学校模拟)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为(　　)A．π  B．2π C．3π  D．4π答案　B解析　将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R，则有2πR＝3×，所以R＝1，设圆锥的内切球的半径为r，结合圆锥和球的特征，可知内切球的球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h，因为圆锥的母线长为3，所以h＝＝2，所以＝，解得r＝，因此内切球的表面积S＝4πr2＝2π.故选B. “切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面． (2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． [即时训练]　5.(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　)A．12  B．18C．24  D．54答案　B解析　如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4.∵S△ABC＝AB2＝9，∴AB＝6，∵点M为三角形ABC的重心，∴BM＝BE＝2，∴在Rt△OMB中，有OM＝＝2.∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，∴(V三棱锥D－ABC)max＝×9×6＝18.故选B.6．(2019·漳州模拟)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积之比为(　　)A.  B.C.  D．29答案　A解析　由底面三角形的三边长可知，底面三角形为直角三角形，内切球半径r＝＝1，取AC，A1C1的中点D，E，则外接球球心是DE的中点O，由A1C1＝5，AA1＝2，得AC1＝，所以外接球半径R＝OA＝，所以＝＝，故选A. 
1．(2019·郑州二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为(　　)A.  B.C．180π  D．90π答案　A解析　构造底面边长为3,6，高为3的长方体，由三视图可知，该几何体是如图1中所示的三棱锥P－ABC.所以在该三棱锥中，PA⊥底面ABC，并且AB⊥AC，把该三棱锥放在如图2所示的底面边长为3，高为3的长方体中，则该三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，设该三棱锥的外接球的半径为R，则有(2R)2＝32＋(3)2＋(3)2＝45，解得R＝，所以该三棱锥的外接球的体积V＝πR3＝π3＝，故选A.2．(2019·宝鸡中学高三第一次模拟)已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝________.答案　2 解析　由题意，知四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示．设AF＝x，BF＝y，CF＝z，则＝＝，又4π·2＝9π，解得x＝y＝2，∴a＝＝2.答题启示1．若四面体中有三条棱两两垂直，则方法是找到三条两两互相垂直的棱，借助墙角模型补成长方体(如图)，用公式 ＝2R求解．2．若四面体的对棱相等，则解题步骤为第一步：画出一个长方形，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设长方体的长宽高分别为a，b，c，列出方程(其中α，β，γ为常数)⇒a2＋b2＋c2＝；第三步：根据墙角模型，＝2R⇒R＝.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 对点训练  1．在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°，将△ABC沿BC上的高AD折成直二面角B′－AD－C，则三棱锥B′－ACD的外接球的表面积为(　　)A．π  B.π C．3π  D．2π答案　C解析　如图，∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，∴BC＝2，则BD＝DC＝AD＝1，由题意，得AD⊥底面B′DC，又二面角B′－AD－C为直二面角，∴B′D⊥DC，把三棱锥B′－ACD补形为正方体，则正方体的体对角线长为，则三棱锥B′－ACD的外接球的半径为，则其外接球的表面积为S＝4π×2＝3π.故选C.2．(2019·漳州质量监测)已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为________．答案　16解析　将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则πR3＝8π，解得R＝.因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有a＝2R＝2，所以a＝2.而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD的棱长为a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝16.