2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第2章第5讲　指数与指数函数


第5讲　指数与指数函数
基础知识整合

一、指数及指数运算
1．根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根
—
n>1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数

零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数
±(a＞0)
负数没有偶次方根

2．分数指数幂
(1)a＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
(2)a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
二、指数函数及其性质
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．
2．指数函数的图象和性质
底数
a>1
0 图
象


性
质
函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，恒有y>1；
当x<0时，恒有0 当x>0时，恒有0 当x<0时，恒有y>1
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数


1．()n＝a(n∈N*且n>1)．
2.＝n为偶数且n>1.
3．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0
4．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝x的图象关于y轴对称．

1．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)
A．－9 B．7
C．－10 D．9
答案　B
解析　[(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝7.
2．函数f(x)＝x＋1(x≥0)的值域为(　　)
A．(－∞，2] B．(2，＋∞)
C．(0,2] D．(1,2]
答案　D
解析　∵当x≥0时，x∈(0,1]，∴x＋1∈(1,2]，即f(x)的值域为(1,2]．
3．(a2－a＋2)－x－1<(a2－a＋2)2x＋5的解集为(　　)
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
答案　D
解析　∵a2－a＋2>1，∴－x－1<2x＋5，
∴x>－2，选D．
4．(2019·德州模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a C．c 答案　D
解析　因为y＝x在R上为减函数，>，所以b，所以a>c，所以b 5．(2020·蒙城月考)已知0 A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　y＝ax＋b的图象如图．由图象可知，y＝ax＋b的图象必定不经过第一象限．

6．若x＋x－1＝3，则x＋x－＝________；x2＋x－2＝________.
答案　　7
解析　∵(x＋x－)2＝x＋x－1＋2＝5，且x＋x－>0，∴x＋x－＝.又(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，∴x2＋x－2＝7.
核心考向突破
考向一　指数幂的运算

例1　求值与化简：
(1)8×100－×－3×－；
(2)(a>0，b>0)；
(3)÷(a>0)；
(4)已知a>0，a＋a－＝3，求的值．
解　(1)原式＝(23)×(102) －×(2－2)－3×－＝22×10－1×26×－3＝86.
(2)原式＝
＝a－－－·b＋－＝.
(3)原式＝(aa－)÷(a－a)＝(a3) ÷(a2)
＝a÷a＝1.
(4)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47，所以＝＝6.

指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．



(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．

[即时训练]　1.化简：(a>0，b>0)．
解　原式＝＝a＋－1＋·b1＋－2－＝ab－1＝.
2．计算0.027－－－2＋－(－1)0.
解　原式＝(0.33)－－72＋－1＝－49＋－1＝－45.
3．化简：a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3) (a>0，b>0)．
解　原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
4．已知a－＝3(a>0)，求a2＋a＋a－2＋a－1的值．
解　∵a－＝3，
∴a2＋＝2＋2·a·＝9＋2＝11，
而2＝a2＋＋2＝13，
∴a＋＝，
∴a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋.
考向二　指数函数的图象及其应用

例2　(1)(2019·山西晋城模拟)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0 答案　D
解析　由图象知f(x)是减函数，所以00，所以b<0.故选D．
(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________.
答案　
解析　①当0 ②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，0


(1)研究指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a)，(0,1)，.
(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)根据函数图象的变换规律得到的结论
①函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到．
②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到．
③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．

[即时训练]　5.已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　)

答案　B
解析　y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0，又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，故选B．
6．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
答案　[－1,1]

解析　曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．

精准设计考向，多角度探究突破
考向三　指数函数的性质及其应用
角度1　　比较指数幂的大小

例3　(1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是(　　)
A．3－<3－4<32 B．32<<33
C．2.60<2.6<22.6 D．2.6<2.60<22.6
答案　D
解析　因为y＝3x是增函数，所以3－4<3－<32，＝3－<32<33，故排除A，B；因为y＝2x是增函数，所以2.6＝2－2.6<20＝2.60<22.6，故选D．
(2)已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，下列五个关系式：
①0 其中不可能成立的关系式有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个

答案　B
解析　在同一坐标系下画出y＝2019x与y＝2020x的图象，结合图象可知①②⑤可能成立，所以不可能成立的有2个，选B．

比较指数式大小的方法
比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．
(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．
(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．
(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较．

[即时训练]　7.(2020·山东实验中学月考)已知m A．0 C．0 答案　A
解析　因为指数函数y＝x在R上递减，所以由mn>0，故选A．
8．已知0y>1，则下列各式中正确的是(　　)
A．xa C．ax>ay D．ax>ya
答案　B
解析　对于A，∵>1，∴＝a>0＝1，
∴xa>ya，∴A错误；∵0y>1，∴ax ∵axy0＝1，∴ax 角度　　解简单的指数不等式

例4　(1)(2019·宜昌调研)设函数
f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案　C
解析　当a<0时，不等式f(a)<1为a－7<1，即a<8，即a<－3，因为0<<1，所以a>－3，此时－3 (2)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2,1) B．(－4,3)
C．(－3,4) D．(－1,2)
答案　D
解析　∵(m2－m)·4x－2x<0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m2－m)<在x∈(－∞，－1]上恒成立．∵y＝在(－∞，－1]上单调递减，∴当x∈(－∞，－1]时，y＝≥2，∴m2－m<2，∴－1
解指数不等式的思路方法
对于形如ax>ab的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．

[即时训练]　9.已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
答案　B
解析　当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，f(x)∈，∴[－8，1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0，∴实数a的取值范围是[－3,0)．故选B．
10．若x满足不等式2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　　)
A． B．
C． D．[2，＋∞)
答案　B
解析　将2x2＋1≤x－2化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是.故选B．
角度　　与指数函数有关的复合函数问题

例5　(1)函数y＝－x2＋2x＋1的单调减区间为________.
答案　(－∞，1]
解析　设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u为减函数，
∴函数y＝－x2＋2x＋1的减区间即函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴所求减区间为(－∞，1]．
(2)函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________.
答案　
解析　令t＝x，
因为x∈[－3,2]，所以t∈.
故y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时，ymin＝；
当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数的值域为.

与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤
(1)求复合函数的定义域．
(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的．
(3)分层逐一求解函数的单调区间．
(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．

[即时训练]　11.已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________.
答案　(－∞，－18]
解析　设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2,2]，所以t∈.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2,2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间上单调递减，故有－≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]．
12．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝a x2－4x＋3，f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)令g(x)＝a x2－4x＋3，f(x)＝g(x)，
由指数函数的性质知，
要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．
故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.