2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第8章第6讲　空间向量的运算及应用

第6讲　空间向量的运算及应用基础知识整合 1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z.2．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)．③|a|2＝a2，|a|＝.(2)空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝；②a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；③a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；④λa＝(λa1，λa2，λa3)；⑤a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；⑥设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；⑦cos〈a，b〉＝.1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：(1)＝λ(λ∈R)；(2)对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．2．证明空间四点共面的方法点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y，或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．3．确定平面法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．(2)待定系数法：取平面内的两条相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由解方程组求得．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与 μ的值可以是(　　)A．2，  B．－，C．－3,2  D．2,2答案　A解析　∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或故选A.2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)A．－2  B．－C.  D．2答案　D解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D. 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝(　　)A.  B.C.  D.答案　D解析　＋＋＝＋＋＝＋＝，故选D.4．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)A．l∥α  B．l⊥αC．l⊂α  D．l与α斜交 答案　B解析　∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α.故选B.5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥，其中正确的是________．答案　①②③解析　因为·＝0，·＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确；又因为与不平行，所以是平面ABCD的法向量，则③正确；因为＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，所以与不平行，故④错误．6．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．答案　解析　由题意，设＝λ，即＝(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时点Q的坐标为. 核心考向突破 考向一　空间向量的线性运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.解　(1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，∴＋＝＋＝a＋b＋c.用已知向量表示某一向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来． [即时训练]　1．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.解　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋.＝－＝－＝＋＋－＝－＋＋.考向二　共线向量与共面向量定理的应用 例2　如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解　(1)因为＝k，＝k，所以＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内．当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，所以MN∥平面ABB1A1. 证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面＝λ且同过点P＝x＋y对空间任一点O，＝＋t对空间任一点O，＝＋x＋y对空间任一点O，＝x＋(1－x)对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) [即时训练]　2.在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则(　　)A．2x＋y＋z＝1  B．x＋y＋z＝0C．x－y＋z＝－4  D．x＋y－z＝0答案　A解析　∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴＝(0,1，－1)，＝(－2,2,2)，＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，∴解得2x＋y＋z＝1，故选A.精准设计考向，多角度探究突破考向三　空间向量的数量积角度1　　坐标法例3　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.(1)若|c|＝3，且c∥，求c；(2)求a与b夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．解　(1)∵c∥，∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．∴|c|＝＝3|m|＝3.∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴a与b夹角的余弦值为－.(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.∴k＝2或k＝－.即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－.角度2　　基向量法例4　已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)证明：AA1⊥BD.解　(1)如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.∵＝＋＋＝a＋b＋c，∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.∴||＝.即线段AC1的长为.(2)∵＝a＋b＋c，＝b－c，∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.又||2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，∴||＝.∴cos〈，〉＝＝＝－.∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.(3)证明：∵＝c，＝b－a，∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.∴⊥，即AA1⊥BD. (1)空间向量数量积计算的两种方法①基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0.②|a|＝.③cos〈a，b〉＝. [即时训练]　3.已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)A．±   B. C．－  D．±答案　C解析　由＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1,1)，则cos120°＝＝－，解得λ＝±.经检验λ＝不符合题意，舍去，所以λ＝－.4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M为PC的中点．(1)求证：PB⊥DM；  (2)求AC与PD所成角的余弦值．解　(1)证明：结合图形知，＝－，＝(＋)＝＝＋－，则·＝(－)·＝||2－||2＝0，故PB⊥DM.(2)设PA＝AD＝AB＝2BC＝2，由于＝－，＝＋，则||2＝|－|2＝2－2·＋2＝8，故||＝2，||2＝|＋|2＝||2＋2·＋||2＝5，故||＝，·＝(－)·＝2，故cos〈，〉＝＝.