2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第一讲解题的先决条件——信息获取

第一讲解题的先决条件——信息获取

我们常把数学习题的结构分为条件(已知部分)和结论(未知部分)．如果针对问题的组成结构而言，这种认识是无可挑剔的．但是，数学习题的解决是习题与人的思维活动相互作用的结果，人在认识和解决一道数学习题时，是关注习题的条件还是结论呢？事实上，同一道习题可以用多种形式表达，习题的条件和结论的表述不尽相同，弄清习题的条件和结论，只是对习题最初步、最基础的认识，真正与习题解答直接相关的是习题蕴藏的信息，它才是激发解题思维之源、产生解题方案之源．下面结合实例，教你如何正确关注题目的条件和结论，准确获取解题信息，从而正确迅速解题．

一、习题条件蕴藏的信息对解答习题存在重要作用

习题的条件部分，既是结论成立的条件，也是习题解答的条件．如何直接利用条件或最大限度地挖掘条件隐藏的信息对问题的解决非常重要．无论是几何问题还是代数问题，不仅要发现条件直接呈现的信息，还需要发现与条件相关的潜在信息，一个优秀的解题高手必须具备这一素质．

[例1]　如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个公共点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．V1为小球相交部分(图中格子部分)的体积，V2为大球内、小球外的图中阴影部分的体积，则下列关系中正确的是(　　)

A．V1＝　　　　　　 B．V2＝

C．V1>V2  D．V1＜V2

[解析]　这个习题直接呈现的信息就是图形，我们从图形中可以挖掘出以下3项潜在信息：①大球半径是小球半径的2倍；②4个小球中每个小球与相邻的两个小球相交；③V1为小球相交部分(图中格子部分)的体积，V2为大球内、小球外的图中阴影部分的体积．从结论中我们只能得到信息：比较V，V1，V2的大小．

可以看出：图形中隐藏的3条信息直接关系到问题的解答，如果给定大球的半径，甚至可以求出V，V1，V2的大小．但是，结论信息不要求算出V，V1，V2的大小，只要求寻找三者的大小关系．为了便于表述，我们可以假设小球的半径为r(也可以假设小球的半径为单位1)．

于是有V＝π(2r)3＝πr3，V小球＝πr3.

因为V2＝V－4V小球＋V1.

所以V2－V1＝V－4V小球＝πr3>0，可知C错误，D正确．

所以V＝V2－V1＋4V小球>4V小球>2V1，可知A错误．

所以V2＝V－4V小球＋V1>V－4V小球＝πr3＝，可知B错误．

[答案]　D

[反思领悟]　从此题的解答来看，图形中不仅反映了大、小球之间的位置关系，也隐藏着V，V1，V2，V小球四者的大小关系，即V2＝V－4V小球＋V1，而且题设条件中隐藏的这条信息对习题的解答具有重要作用．于是我们可以得到一点解题经验：对于含有图形、表格的习题，仔细挖掘图形中隐藏的信息，如点、线、面之间的位置关系，角之间的大小关系，线段之间的长度关系，表格中数据的对应关系和大小关系，是寻找解题思路的有效途径．

二、习题结论隐藏的信息对习题解答产生的作用不可忽视

在解题过程中，通常重视问题的条件信息，忽视问题的结论信息，认为条件才是问题解决的基础材料，结论是问题解决所追求的终极目标．其实，这是一种片面的认识，结论所隐藏的信息又何尝不是问题解决的基础，也存在着重要作用．要善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．

[例2]　若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.

[证明]　这个习题呈现的信息有3项：①a，b，c∈(0，＋∞)；②a＋b＋c＝1；③＋＋≤4.

可以看出：条件信息①②只是说明a，b，c的范围及关系，没有体现与结论“＋＋≤4”的联系，对解题思路缺乏直接指导作用，相反，结论信息“＋＋≤4，左边为三个根式的和，右边为常数”，这为寻找解题方案做出了暗示．

我们只要回想自己的解题经验，就可以想到“去掉根号化为整式，有利于进一步化简和推理”，这究竟能否成功解决问题呢？这只是问题解决的假设方案．

如何才能去掉根号呢？想到利用“基本不等式”可以实现这一条解题方案，但是，我们马上发现，直接利用基本不等式并不能解决该问题，难道是我们的方案不对？仔细分析分析“基本不等式”的结构特点“≤”以及利用基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，想到要使该不等式成立，应有“a＝b＝c＝”，从而应有a＋5＝b＋5＝c＋5＝成立．故应拼凑 ，巧妙升次，促成“等”与“不等”的转化，于是就有了如下解决方案：

因为2 ≤＋(a＋5)，

2 ≤＋(b＋5)，2 ≤＋(c＋5)，

所以2 (＋＋)≤16＋(a＋5)＋(b＋5)＋(c＋5)＝31＋(a＋b＋c)＝32.

所以＋＋≤4.

[反思领悟]　从该题的解答过程来看，条件信息只能保证根式有意义和代数式＋＋＝4成立而已，对探求解题思路的作用不大；而结论信息为解题提供了明确的暗示——去根号．就提供解题策略而言，条件作用小，结论作用大，于是我们可以得到一点解题经验：对于题设简单、结论复杂的数学习题，挖掘问题结论所隐藏的信息，是寻找解题思路的一条途径．

三、习题结论是“终极目标”不一定是“关键目标”

[例1]的结论是判断正误，没有明确指出比较V，V1，V2中哪两个的大小关系．问题的结论只是一组信息，也是我们解题时所追求的终极目标；但是，有时也许是一组模糊的信息，并不一定是解题过程中追求的关键目标．关键目标有可能是问题结论的反面，或者是一个矛盾，或者是与结论相关的、等价的另一问题……，解答[例1]的关键是发现V，V1，V2，V小球四者的大小关系，即V2＝V－4V小球＋V1.解题时只有对习题的所有信息进行综合加工处理，关键目标才能浮现出来．

[例3]　设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.

(1)求a，b；

(2)证明：f(x)>1.

[解]　(1)f′(x)＝aex＋(x>0)，

由于直线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，图象过点(1,2)，

所以即解得

(2)证明：由(1)知f(x)＝exln x＋(x>0)，

从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.

构造函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x，

所以当x∈时，g′(x)＜0；当x∈时，g′(x)>0，

故g(x)在上单调递减，在上单调递增，

从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.

构造函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．

所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0；

故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.

综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

[反思领悟]　本题的终极目标是证明f(x)>1成立．若按照常规思路，直接构造函数h(x)＝exln x＋－1，求导后不易分析，因此不宜对其整体进行构造函数，而是将不等式“exln x＋>1”合理拆分为“xln x>xe－x－”，构造函数g(x)＝xln x，h(x)＝xe－x－，此时，问题解决的关键目标是证明g(x)>h(x)成立．

从上述论述来看，问题解决最重要的环节是解题思路的探求，在解题思路的探求过程中，题设条件并非解题的唯一条件，结论也不是一成不变的结论．将问题的条件信息和结论信息联系起来整体地思考和探究，结合大脑中储备的知识经验进行综合加工，才有利于发现问题解决的关键目标，探求到合理而有效的解题方案．

四、习题信息的转化是实现信息“化暗为明”的必备能力

数学习题呈现的信息具有多样性．有图形中的点、线、面之间的位置关系信息，也有代数问题中的数量大小关系信息、代数式的特征信息，还有图、表中的数据对应关系信息．为了深入理解习题的信息，常根据其表现形式分为以下三类：

1．形象信息

数学问题中以图形、表格等直观形象的形式表达出来的信息，称为形象信息，如几何图形、函数图象、坐标系、分布列、频率分布直方图、茎叶图等，呈现给我们的是直观形象的材料．

2．符号信息

符号信息是用字母、数字、数学式子等形式表达的信息，呈现给我们的是抽象的数学符号，通常称为数的信息．

3．语言信息

语言信息就是用有意义的语言来表达的信息，也就是用汉语、数学语言来表达的数量关系、概念和数学习题中的解释、说明等信息．

这三类信息既有区别又有联系．虽然在表达形式上不同，但在解题过程中是可以互相转化的．只有熟练地转化解题信息，才能化隐性信息为显性信息、化新情景问题为已学知识．熟练地转化各类信息的表述形式与成功解答习题存在正相关，一个优秀的解题高手，必须是一个信息处理和信息转化方面的能手．

[例4]　函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围是(　　)

A．{3,4}　　　　　 B．{2,3,4}

C．{3,4,5}  D．{2,3}

[解析]　令Pn(xn，f(xn))，＝＝kOPn，由＝＝…＝⇒kOP1＝kOP2＝…＝kOPn，

即过点O的射线与函数图象有n个不同的交点．于是过点O作射线与函数图象的公共点可能有2个、3个、4个，所以选B.

[答案]　B

[反思领悟]　此题的解答过程中，先将符号信息(数的信息)＝＝…＝转化为另一形式的数的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn，再将数的信息kOP1＝kOP2＝…＝kOPn转化为语言信息“OP1，OP2，…，OPn的斜率相等”，进一步转化为语言信息“过点O的射线与函数图象有n个不同的交点”．

显然，此题的解答过程就是一系列的信息转化过程．

[例5]　已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．5－4  B.－1

C．6－2  D.

[解析]　首先将圆C1，C2和|PM|＋|PN|符号信息转化为形象信息，如图(1)所示，进一步转化为语言信息“求线段和|PM|＋|PN|的最小值”，将圆C1关于x轴对称得到圆C3，得到形象信息图(2)，将问题转化为“求图(2)中|PM|＋|PN|的最小值”．于是|PM|＋|PN|≥|C2C3|－(R1＋R2)＝5－4.

[答案]　A

[反思领悟]　在解答平面几何和解析几何问题时，我们常常根据题意作出草图，这就是把语言信息或符号信息转化为形象信息．又如，用解析法解答平面几何问题时，又把形象信息转化为符号信息和语言信息．总之，三类信息是密切相关的，解题者常常根据自己的认知经验和思维习惯将三类信息相互转化．