2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二章第八节函数与方程

第八节函数与方程

1．函数零点的概念

对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点❶.

2．函数的零点与方程根的联系

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的横坐标，所以方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．

3．零点存在性定理

4．二次函数图象与零点的关系

(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．

(2)零点一定在定义域内.

由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如下图所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．

零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数．若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点．

判断二次函数f(x)的零点个数就是判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般由判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0完成．

[熟记常用结论]

1．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．

2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

二、选填题

1．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：

则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)

A．2个　　　　　　　　 B．3个

C．4个  D．5个

解析：选B　由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点．故选B.

2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)

A．(1,2)  B．(2,3)

C.和(3,4)  D．(4，＋∞)

解析：选B　易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.

3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选B　函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，

∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，

∴f(－1)·f(0)＜0，

∴函数f(x)有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.

4．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．

答案：－， ，1,2

考点一函数零点所在区间的判断[基础自学过关]

[题组练透]

1．(2019·郑州名校联考)已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)

C．(0,1)  D．(1,2)

解析：选B　∵2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b是单调递增函数，∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，∴f(x)在区间(－1,0)上存在零点．故选B.

2．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　令g(x)＝x，f(x)＝x，

则g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝，

结合图象可得＜x0＜.

3．(2019·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.

解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln 2＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.

答案：2

[名师微点]

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

考点二判断函数零点个数[师生共研过关]

[典例精析]

已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

[解析]　由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝函数y＝f(x)－g(x)的零点

个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．

由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2，选A.

[答案]　A

[解题技法]

函数零点个数的判断方法

(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；

(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．

[过关训练]

1．(2019·郑州质检)已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．

解析：如图，作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.

答案：3

2．函数f(x)＝的零点个数是________．

解析：当x＜0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)，所以当x＜0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝e2－4＞0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有2个零点．

答案：2

3．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．

解析：由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，

∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，

即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.

答案：3

考点三函数零点的应用[全析考法过关]

[考法全析]

考法(一)　根据函数零点个数或存在情况求参数范围

[例1]　(1)(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1]　　　　　　 B．[1，＋∞)

C．(0,1)  D．(－∞，1]

(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)  B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)  D．[1，＋∞)

[解析]　(1)画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0＜a≤1；当x＞0时，f(x)有一个零点，需－a＜0，即a＞0.综上，0＜a≤1，故选A.

(2)令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.

[答案]　(1)A　(2)C

考法(二)　根据函数零点的范围求参数范围

[例2]　若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．

[解析]　依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足

即

解得＜m＜.

[答案]　

考法(三)　求函数多个零点(方程根)的和

[例3]　(2019·石家庄质量检测)已知M是函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx(x∈R)的所有零点之和，则M的值为________．

[解析]　将函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx的零点转化为函数h(x)＝|2x－3|与g(x)＝8sin πx图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x＝对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M＝8×＝12.

[答案]　12

[规律探求]

[过关训练]

1．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞)　　　　　　 B．[2，＋∞)

C.  D.

解析：选D　由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，∴实数a的取值范围是.

2．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－4mx－m，其中m≠0.若函数g(x)在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)

A．{－1}∪  B.

C．{－1}∪  D.

解析：选C　作出函数y＝f(x)的大致图象，如图所示．函数g(x)的零点个数⇔函数y＝f(x)的图象与直线y＝4mx＋m的交点个数．直线y＝4mx＋m过点，当直线y＝4mx＋m过点(1,1)时，m＝；当直线y＝4mx＋m与曲线y＝－1(－1＜x＜0)相切时，设切点为，由y′＝－得切线的斜率为－，则－＝，解得x0＝－，所以4m＝－＝－4，得m＝－1.结合图象可知当m≥或m＝－1时，函数g(x)在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．

一、题点全面练

1．设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f ·f ＜0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内(　　)

A．可能有3个实数根　　　 B．可能有2个实数根

C．有唯一的实数根  D．没有实数根

解析：选C　∵f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f ·f ＜0，

∴f(x)在区间上有唯一的零点．

∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．

2．(2018·濮阳一模)函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间(　　)

A．(2,3)  B．(3,4)

C．(0,1)  D．(1,2)

解析：选D　∵f(x)＝ln(2x)－1是增函数，且是连续函数，

f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0，

∴根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上．

3．(2019·南宁模拟)设函数f(x)＝ln x－2x＋6，则f(x)零点的个数为(　　)

A．3  B．2

C．1  D．0

解析：选B　令f(x)＝0，则ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x(x＞0)，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B.

4．已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(　　)

A．恒为正值  B．等于0

C．恒为负值  D．不大于0

解析：选A　因为函数f(x)＝x－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒为正值，故选A.

5．(2018·黄山一模)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(1，＋∞)

C．(－1,0)  D．(－∞，－1)

解析：选B　方程f(x)＝k化为方程e|x|＝k－|x|.令y＝e|x|，y＝k－|x|，y＝k－|x|表示过点(0，k)，斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y＝e|x|恰好有一个公共点时，有k＝1，如图．若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．

6．若方程ln x＋x－4＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a的值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　方程ln x＋x－4＝0的根为函数f(x)＝ln x＋x－4的零点．f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)在定义域上单调递增．因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，所以f(x)在区间(2,3)有一个零点，则方程ln x＋x－4＝0在区间(2,3)有一根，所以a＝2，b＝3.故选B.

7．(2019·哈尔滨检测)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－1和2，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．

解析：函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－1和2，即－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可得－1＋2＝－a，－1×2＝b，解得a＝－1，b＝－2.f(x)＝x2－x－2，af(－2x)＞0，即4x2＋2x－2＜0，解得－1＜x＜.

答案：

8．已知函数f(x)＝g(x)＝则函数f(g(x))的所有零点之和是________．

解析：由f(x)＝0，得x＝2或x＝－2，由g(x)＝2，得x＝1＋，由g(x)＝－2，得x＝－，所以函数f(g(x))的所有零点之和是－＋1＋＝＋.

答案：＋

9．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.

所以f(x)＝

(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，

即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．

作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，

故实数a的取值范围为(－1,1)．

10．(2019·济南月考)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．

解：(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.

所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.

(2)因为g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x＞0)，

所以g′(x)＝1＋－＝.

令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.

当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下.

当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.

又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点．

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．(2018·德州期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即0是函数f(x)的一个零点，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3为增函数．因为f(1)＝e1＋1－3＝e－2＞0，f＝e＋－3＝e－＜0，所以当x＞0时，f(x)有一个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点的个数为3.

2．(2019·六安模拟)已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)

A.∪  B.

C.  D.

解析：选D　当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)＜0或②或③解①得－＜m＜0或0＜m＜；②无解；解③得m＝.综上可知－＜m≤，故选D.

3．(2019·沧州质检)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)＋f(2－x)＝0；②f(x－2)＝f(－x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝则函数y＝f(x)－|x|在区间[－3,3]上的零点个数为(　　)

A．5  B．6

C．7  D．8

解析：选A　由①f(x)＋f(2－x)＝0可得f(x)的图象关于点(1,0)对称；由②f(x－2)＝f(－x)可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称．如图，作出f(x)在[－1,1]上的图象，再由对称性，作出f(x)在[－3,3]上的图象，作出函数y＝|x|在[－3,3]上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数y＝f(x)－|x|在区间[－3,3]上的零点个数为5.故选A.

4．函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．

解析：可转化为两个函数y＝|x－1|与y＝－2cos πx在[－4,6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.

答案：10

(二)难点专练——适情自主选

5．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．

∴k×1－＞0，解得k＞.

当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，∴m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D.

6．(2018·兰州一模)已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋2)＝f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝sinx，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　)

A.∪(5，＋∞)  B.∪[5，＋∞)

C.∪(5,7)  D.∪[5,7)

解析：选A　当a＞1时，作出函数y＝f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．

结合图象可知故a＞5；

当0＜a＜1时，作出函数f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．

结合图象可知故0＜a≤.故选A.