2020年高考数学理科一轮复习讲义：第4章平面向量第1讲

第四章　平面向量

第1讲　平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

2．向量的线性运算

3．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa.

1．概念辨析

(1)在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则＝(＋)．(　　)

(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)

(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)

(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)下列命题正确的是(　　)

A．若|a|＝|b|，则a＝b   B．若|a|>|b|，则a>b

C．若a＝b，则a∥b   D．若|a|＝0，则a＝0

答案　C

解析　A错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B错误，向量不能比较大小；C正确，若a＝b，则a与b方向相同，故a∥b；D错误，若|a|＝0，则a＝0.

(2)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是(　　)

A.＝   B.＝

C.＝－   D.＝

答案　D

解析　由题意得，＝－，故D错误．

(3)设a，b是不共线的两个向量，已知＝a＋2b，＝4a－4b，＝－a＋2b，则(　　)

A．A，B，D三点共线   B．A，C，D三点共线

C．A，B，C三点共线   D．B，C，D三点共线

答案　B

解析　因为＝a＋2b，所以＝－a－2b，所以＝＋＝(－a－2b)＋(4a－4b)＝3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3.

所以∥，所以A，C，D三点共线．

(4)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．

答案　b－a　－a－b

解析　因为四边形ABCD是平行四边形，

所以＝，＝－＝－a，

所以＝＝－＝b－a，

＝－＝－a－b.

题型 　平面向量的基本概念

1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　D

解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．

综上所述，假命题的个数是3.

2．下列叙述错误的是________(填序号)．

①若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同；

②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；

③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；

④＋＝0；

⑤若λa＝λb，则a＝b.

答案　①②③④⑤

解析　对于①，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．

对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立．

对于③，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0时，λ不存在．

对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0.

对于⑤，当λ＝0时，无论a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.

故①②③④⑤均错误．

有关平面向量概念的六个注意点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．

(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量．

(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．

(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．给出下列说法：①若A，B，C，D是不共线的四个点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等；④若a＝b，b＝c，则a＝c.其中正确说法的序号是(　　)

A．①④  B．③④  C．②③  D．①②

答案　A

解析　①④正确；②错误，因为a，b的方向不一定相同；③错误，＝－.

2．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中正确命题的序号为________．

答案　②

解析　①错误，例如△ABC中，与有公共终点，但不是共线向量；②正确；③错误，若λa＝0(λ为实数)，则λ＝0或a＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，但a与b不一定共线．

题型 　向量的线性运算

1．下列四个结论：

①＋＋＝0；

②＋＋＋＝0；

③－＋－＝0；

④＋＋－＝0.

其中一定正确的结论个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　①正确；②错误，

＋＋＋＝＋＋＋＝≠0；③正确，－＋－＝(－)＋(＋)＝＋＝0，④正确，＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.

2．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)

A．a⊥b  B．|a|＝|b|

C．a∥b  D．|a|>|b|

答案　A

解析　解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.

∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.

∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.

解法二：利用向量加法的平行四边形法则．

在▱ABCD中，设＝a，＝b，

由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，

从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.

3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)

A.－  B.－

C.＋  D.＋

答案　A

解析　根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋)＝－，故选A.

条件探究1　把举例说明3的条件改为“点D在BC边上且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE”，试用，表示.

解　由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得

＝－＝－＝－

＝－

＝－.

条件探究2　把举例说明3的条件改为“D为AB的中点，点E满足2＋＝0”，试用，表示.

解　因为D为AB的中点，

所以＝＋＝＋，

所以＝－.

又因为2＋＝0，

所以2(－)＋(－)＝0，

所以3＝2＋，

所以＝＋

＝＋

＝－.

1．平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

2．向量线性运算的两个常用结论

(1)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)，如举例说明3.

(2)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)

A.－   B．－＋

C．2－   D．－＋2

答案　C

解析　因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－，故选C.

2．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)

A．a－b

B.a－b

C．a＋b

D.a＋b

答案　D

解析　连接CD，OC，由题意得∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，所以CD∥AB，CD＝AC，

易证△AOC为等边三角形，所以AC＝AB，所以＝，所以＝＋＝＋＝b＋a＝a＋b.

题型 　共线向量定理的应用

角度1　证明向量共线或三点共线

1．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)

A．点P在线段AB上  B．点P在线段BC上

C．点P在线段AC上  D．点P在△ABC外部

答案　C

解析　因为＋＋＝＝－，所以＝－2，所以A，P，C三点共线，且P是线段AC的三等分点(靠近A)．

角度2　由向量共线求参数的值

2．(2018·贵州适应性测试)已知向量e1与e2不共线，且向量＝e1＋me2，＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是(　　)

A．mn＝1   B．mn＝－1

C．m＋n＝1   D．m＋n＝－1

答案　A

解析　因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得＝λ，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得所以mn＝1.

求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔＝(1－t)＋t(O为平面内任一点，t∈R)．

(5)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)

A．矩形  B．平行四边形

C．梯形  D．以上都不对

答案　C

解析　＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，所以AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．

2．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.

(1)求证：A，B，D三点共线；

(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

解　(1)证明：由已知得

＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，

∵＝2e1－8e2，∴＝2.

又∵与有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

(2)由(1)可知＝e1－4e2，

∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，

∴＝λ(λ∈R)，

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

∴解得k＝12.