2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

一、基础知识批注——理解深一点

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2．四种命题及其相互关系

3．充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；

(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；

(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．

二、常用结论汇总——规律多一点

1．四种命题中的等价关系

原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．

2．等价转化法判断充分条件、必要条件

p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况以此类推．

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)“x2＋2x－8<0”是命题．(　　)

(2)一个命题非真即假．(　　)

(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(　　)

(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

(二)选一选

1．“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的(　　)

A．充要条件　　　　　 　 　B．必要不充分条件

C．充分不必要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选C　由x2＋3x＝0，解得x＝－3或x＝0，则当“x＝－3”时一定有“x2＋3x＝0”，反之不一定成立，所以“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的充分不必要条件．

2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)

A．若a≤b，则a＋c≤b＋c   B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c>b＋c，则a>b   D．若a>b，则a＋c≤b＋c

解析：选A　命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．

3．(2018·唐山一模)若x∈R，则“x>1”是“<1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选A　当x>1时，<1成立，而当<1时，x>1或x<0，所以“x>1”是“<1”的充分不必要条件．

(三)填一填

4．“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为________．

解析：“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”．

答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数

5．设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的____________条件．

解析：a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，

即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－，

∴x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－，

∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

[典例]　(2019·菏泽模拟)有以下命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题是(　　)

A．①②　　　　　　　 　B．②③

C．④   D．①②③

[解析]　①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．

[答案]　D

[解题技法]

1．由原命题写出其他三种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

2．判断命题真假的2种方法

[提醒]　(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．

[题组训练]

1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－1<x<1，则x2<1

C．若x>1或x<－1，则x2>1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析：选D　命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．

2．已知集合P＝，Q＝，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．0   B．1

C．2   D．4

解析：选C　因为P＝＝，Q＝，

所以PQ，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，

则原命题的逆否命题为真命题．

原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，

则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.

[典例]　(1)(2019·湖北八校联考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的(　　)

A．充分不必要条件　　 　B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

(2)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

(3)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

[解析]　(1)定义法

当a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4时，a＋d＝b＋c，但此时a，b，c，d不成等差数列；而当a，b，c，d依次成等差数列时，由等差数列的性质知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.

(2)集合法

由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“＜”⇒“x3＜1”；

由x3＜1，得x＜1，

当x≤0时，≥，

即“x3＜1” “＜”．

所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．

(3)等价转化法

因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，

所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，

因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．

[答案]　(1)B　(2)A　(3)A

[解题技法]　判断充分、必要条件的3种方法

[提醒]　判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．

[题组训练]

1.已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选B　若x2<1，则－1<x<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．

2.(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选B　设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则<θ<π，则cos θ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．

3.“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选A　设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，

则綈p：xy＝1，綈q：x＝1且y＝1.

可知綈q⇒綈p，綈p綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件．

故p是q的充分不必要条件，

即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件．

 考点三　根据充分、必要条件求参数的范围

[典例]　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________．

[解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则所以0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

[答案]　[0,3]

[变透练清]

1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

所以解得

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

2.若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若綈P是綈S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且SP.

∴[－2,10][1－m,1＋m]．

∴或

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

[解题技法]　根据充分、必要条件求参数范围的方法

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)

A．逆命题　　　　　　 　B．否命题

C．逆否命题   D．否定

解析：选B　命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．

2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)

A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题

D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题

解析：选C　根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．

3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)

A．真，假，真　　　　　　 　B．假，假，真

C．真，真，假   D．假，假，假

解析：选B　当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．

4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选B　a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．

5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是(　　)

①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；

③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．

A．①③   B．②

C．②③   D．①②③

解析：选A　本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．

6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)

A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，

即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.

因为a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，

所以a·b＝0，能推出a⊥b.

由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，

能推出|a－3b|＝|3a＋b|，

所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．

7．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)

A．充要条件   B．充分不必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选C　设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

8．(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m>   B．0<m<1

C．m>0   D．m>1

解析：选C　若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.

9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．

解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0<B<π，∴A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．

答案：充要

10．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．

解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.

答案：3

11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．

解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.

又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.

故实数m的取值范围为[3,8)．

答案：[3,8)

12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：

①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；

②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；

③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；

④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．

以上说法正确的是________(填序号)．

解析：对于①，“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．

答案：①②④

13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．

(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．

(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．