2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件　　　　　　　　　　　 1．了解命题的概念．2．了解四种命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个命题的关系． 知识梳理1．命题及其真假(1)命题：在数学上，用　语言、符号或式子　表达的，可以判断　真假　的　陈述句　叫做命题．(2)真命题：判断为真的语句叫做　真命题　.(3)假命题：判断为假的语句叫做　假命题　.2．四种命题的形式(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论．(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论．(3)否命题：“若﹁p，则﹁q”，即同时否定原命题的条件和结论．(4)逆否命题：“若﹁q，则﹁p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加以否定．3．四种命题的关系4．四种命题的真假关系(1)互为逆否的两个命题的真假性　相同　.(2)互逆或互否的两个命题的真假性　没有关系　.(3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性　相同　，逆命题与否命题的真假性　相同　.5．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的　充分　条件，同时q是p的 　必要　条件．(2)如果p⇒q，但q p，则p是q的 　充分必要　条件．(3)如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的 　充要　条件．(4)如果q⇒p，且p q，则p是q的 　必要不充分　条件．(5)如果p q，但q p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分不必要条件，则﹁p是﹁q的 　必要不充分　条件．2．若p，q以集合的形式出现，记条件p、q对应的集合分别为P，Q，一般地有，若P⊆Q，则p是q的 　充分　条件；若Q⊆P，则p是q的 　必要　条件；若PQ，则p是q的 　充分不必要　条件；若PQ，则p是q的 　必要不充分　条件；若P＝Q，则p是q的 　充要　条件． 热身练习1．下列语句中，不能构成命题的是(C)A．5>12  B．若＝，则x＝yC．x>0  D．若x<y，则x2<y2　 一个语句是不是命题，关键是看能否判断真假，因为x>0无法判断真假，因此不能构成命题．2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(D)A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0　 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.3．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(B)A．0   B．2C．3  D．4　 原命题：若x＝－1，向量a＝(1，－1)，b＝(1，－1)，a与b共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真．逆命题为：若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝－1.当a与b共线时，x(x＋2)＝x，解得x＝0或－1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题．故真命题的个数为2.4．(2016·四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(A)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件　 因为所以x＋y＞2，即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即qp.故p是q的充分不必要条件．5．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(C)A．充分必要条件  B．充分不必要条件C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件　 根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．　　　　　　　　　　　   四种命题及其真假判断原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真，假，真   B．假，假，真C．真，真，假  D．假，假，假 “若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，由共轭复数的定义可知为真命题，所以逆否命题也为真命题，逆命题为：“复数|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，由1和i的模相等，但它不是共轭复数，可知逆命题为假命题，所以否命题也为假命题．故选B. B (1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可；(2)四种命题的真假成对出现．即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同．当一个命题直接判断不易进行时，可转化判断其等价命题的真假．1．在下列4个结论中：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；②命题“若m2＋n2＝0，则m，n全为0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m，n全不为0”；③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为真命题；④“若x>1，则x2>1”的否命题为真命题．其中正确结论的序号是　①③　. ①正确．②不正确，否命题为“若m2＋n2≠0，则m，n不全为0”．③m>0时，Δ＝1＋4m>0，所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．④逆命题“若x2>1，则x>1”为假命题，所以否命题为假命题．故正确结论的序号为①③.  充要条件的判断(1)(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件 (1)(方法一)因为2－x≥0⇔ x≤2.因为|x－1|≤1⇔－1≤x－1≤1⇔0≤x≤2.因为x≤2 0≤x≤2，而0≤x≤2⇒x≤2，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．(方法二)记“2－x≥0”与“|x－1|≤1”表示的集合分别为A，B.则A＝{x|x≤2}，B＝{x|0≤x≤2}．因为BA，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．(2)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y x＝y，利用四种命题的等价关系得：cos x≠cos y⇒x≠y，x≠y cos x≠cos y.所以“x≠y”是“cos x≠cos y”必要而不充分条件． (1)B　(2)B (1)判断充要条件的方法：①定义法(这是基本方法)；②集合法(根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断)；③转换法．(2)判断充要条件时，要注意如下技巧：①等价化简：先将条件和结论等价化简，然后根据定义进行判断；②等价转化：根据“四种命题”中互为逆否的两个命题是等价的，把判断命题的正确性，转化为判断其逆否命题的正确性．这种方法特别适合以否定形式给出的命题．2．(1)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(B)A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件(2)如果a，b是实数，那么“a≠0”是“ab≠0”的(B)A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件 (1)ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，x<0 －1<x<0，－1<x<0⇒x<0，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要而不充分条件． (2)a＝0⇒ab＝0，但ab＝0 a＝0，其逆否命题为ab≠0⇒a≠0，a≠0ab≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件．  根据充要条件求解参数的取值范围已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____________． p对应的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q对应的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，因为﹁p是﹁q 的必要不充分条件，所以﹁q⇒﹁p但﹁p﹁q 由互为逆否的两个命题的等价关系可知，p⇒q，但qp，所以AB.所以解得m≥9.检验m＝9时，满足AB.因此，实数m的取值范围是[9，＋∞)．  [9，＋∞) (1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将p，q等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系；③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围．(2)解此类问题要注意：①注意命题等价转化，如将﹁p与﹁q的关系转化为p与q的关系；②注意区间端点值的检验．3．已知p：2x＋m<0，q：x2－x－2>0，若p是q的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围为　[2，＋∞)　. 因为q：x2－x－2>0，所以x<－1或x>2，记A＝{x|x<－1或x>2}．又因为p：2x＋m<0，所以x<－，记B＝{x|x<－}，因为p是q的充分不必要条件，所以BA.所以－≤－1，解得m≥2.所以实数m的取值范围是[2，＋∞)．1．判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断真假．数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题．2．一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律，判断一个命题为真必须经过证明，而判定一个命题为假只需举一个反例就行．3．判断充分条件和必要条件时，常用以下几种方法：(1)定义法：判断A是B的什么条件，实际上就是判断AB或BA是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，如利用其逆否命题进行判断．(3)集合法：当条件和结论以集合形式出现时，可利用集合间的包含关系进行判断．