2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件


1．命题
概念
使用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句
特点
(1)能判断真假；(2)陈述句
分类
真命题、假命题
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系：

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
3．充分条件与必要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
A是B的真子集
集合与充要条件
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
B是A的真子集
p是q的充要条件
p⇔q
A＝B
p是q的既不充分又不必要条件
pq且qp
A，B互不包含
　　[小题体验]
1．(2019·昆山中学检测)下列有关命题的说法不正确的有________个．
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；
②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；
③命题“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”；
④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．
答案：3
2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或 “既不充分也不必要”)．
答案：充要
3．(2019·南通中学检测)命题“若x2＋y2≤1，则x＋y＜2”的否命题为________________．
答案：若x2＋y2＞1，则x＋y≥2
4．“x≥1”是“x＋≥2”的________条件．
解析：若x＞0，则x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，显然[1，＋∞) (0，＋∞)，所以x≥1是x＋≥2的充分不必要条件．
答案：充分不必要

1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．
[小题纠偏]
1．(2019·海门中学检测)已知α，β表示两个不同平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的________条件．
答案：充分不必要
2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.
解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，
结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．
即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．
答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角

　
[题组练透]
1．(2018·启东中学期末检测)能够说明“设a，b是任意实数，若a2＜b2，则a＜b”是假命题的一组整数a，b的值依次为________．
解析：可令a＝1，b＝－2，满足a2＜b2，但a＞b.
答案：1，－2(答案不唯一)
2．(2019·常州一中测试)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是________________．
解析：命题的条件是p：α＝，结论是q：tan α＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，显然非q：tan α≠1，非p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．
答案：若tan α≠1，则α≠
3．给出以下四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：①③
[谨记通法]
1．判断命题真假的2种方法
(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．
(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．
2．谨防3类失误
(1)如果原命题是“若p，则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．
(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．
(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
　
[典例引领]
1．(2019·泰州中学高三学情调研)“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的________条件．
解析：当a＝0时，f(x)＝x3，所以函数f(x)是奇函数，当函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数时，f(－x)＝－x3＋ax2＝－f(x)＝－x3－ax2，所以2ax2＝0恒成立，所以a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．
答案：充要
2．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的____________条件．
解析：因为p：x＋y≠－2，
q：x≠－1或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，
綈q：x＝－1且y＝－1，
因为綈q⇒綈p但綈p綈綈q，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
[由题悟法]
充分、必要条件的3种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
[即时应用]
1．(2018·苏州新区实验中学测试)在△ABC中，“A≠60°”是“cos A≠”的________条件．
解析：当A＝60°时，可以推得cos A＝；当cos A＝时，由于A∈(0，π)，也可以推得A＝60°，故“A＝60°”是“cos A＝”的充要条件. 即“A≠60°”是“cos A≠”的充要条件．
答案：充要
2．设p：x2－x－20＞0，q：log2(x－5)＜2，则p是q的______条件．
解析：因为x2－x－20＞0，所以x＞5或x＜－4，所以p：x＞5或x＜－4.因为log2(x－5)＜2，所以0＜x－5＜4，即5＜x＜9，所以q：5＜x＜9，因为{x|5＜x＜9}{x|x＞5或x＜－4}，所以p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的________________条件．
解析：因为m＝λn，所以m·n＝λn·n＝λ|n|2.
当λ＜0，n≠0时，m·n＜0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉＜0⇔cos〈m，n〉＜0⇔〈m，n〉∈，
当〈m，n〉∈时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
　
[典例引领]
1．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知A＝{x|x＜4}，且AB，所以a＞4.
答案：(4，＋∞)
2．(2019·响水中学检测)设p：x2－2x＜0，q：(x－m)(x－m－3)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
解析：由x2－2x＜0，得0＜x＜2，即p：0＜x＜2，
由(x－m)(x－m－3)≤0，得m≤x≤m＋3，
即q：m≤x≤m＋3，
若p是q的充分不必要条件，
则即－1≤m≤0.
答案：[－1,0]
[由题悟法]
根据充分、必要条件求参数的值或范围的关键点
(1)先合理转化条件，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
[即时应用]
1．(2018·兴化三校联考)已知p：x≥a，q：x2－2x－3≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由x2－2x－3≥0，得x≤－1或x≥3，
若p是q的充分不必要条件，
则{x|x≥a}⊆{x|x≤－1或x≥3}，所以a≥3.
答案：[3，＋∞)
2．已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．
解析：命题p：x＞m＋3或x＜m，
命题q：－4＜x＜1.
因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，
故m≤－7或m≥1.
答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)
3．(2019·高邮中学检测)若关于x的不等式x2－2x＋3－a＜0成立的一个充分条件是1＜x＜4，则实数a的取值范围是________．
解析：∵不等式x2－2x＋3－a＜0成立的一个充分条件是1＜x＜4，
∴当1＜x＜4时，不等式x2－2x＋3－a＜0成立．
设f(x)＝x2－2x＋3－a，
则满足即解得a≥11.
答案：[11，＋∞)

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1．(2019·张家港外国语学校检测)命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是________________________．
答案：若x≠3，则x2－4x＋3≠0
2．(2019·苏州实验中学检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.命题甲：A＋C＝2B，且a＋c＝2b；命题乙：△ABC是正三角形，则命题甲是命题乙的________条件．
答案：充要
3．“m＝3”是“两直线l1：mx＋3y＋2＝0和l2：x＋(m－2)y＋m－1＝0平行”的________条件．
答案：充要
4．(2018·南京模拟)有下列命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题．
②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题．
答案：②③
5．若x＞5是x＞a的充分条件，则实数a的取值范围为____________．
解析：由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}，所以a≤5.
答案：(－∞，5]
6．(2018·苏州中学检测)已知集合A＝{x|x(x－3)＜0}，B＝{x||x－1|＜2}，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．
解析：因为集合A＝(0,3)，集合B＝(－1,3)，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
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1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________．
解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”
2．(2018·南通中学高三测试)已知a，b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的________条件．
解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的圆心为(a，b)，半径r＝，直线x＋y＝0与圆相切，则圆心到直线的距离d＝＝，解得|a＋b|＝2.即a＋b＝±2，所以p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
3．(2018·南通模拟)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的________条件．
解析：因为3a＞3b＞3，所以a＞b＞1，此时loga3＜logb3；反之，若loga3＜logb3，则不一定得到3a＞3b＞3，例如当a＝，b＝时，loga3＜logb3成立，但推不出a＞b＞1.故“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
4．(2019·无锡一中检测)给出下列说法：
①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；
②“在△ABC中，sin B＞sin C是B＞C的充要条件”是真命题；
③x≤3是|x|≤3的充分不必要条件；
④命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
以上说法正确的是________(填序号)．
解析：对于①，“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝”，当x＝0，y＝时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B＞sin C⇔b＞c⇔B＞C，②正确；对于③，因为|x|≤3x≤3，所以x≤3是|x|≤3的必要不充分条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．
答案：①②④
5．(2018·南通一中高三测试)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．
因为p是q的充分不必要条件，所以MN，所以解得0＜a＜3.
答案：(0,3)
6．设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的________条件．


解析：p表示以点(1,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．
由图可知，p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：若m＝2，n＝3，则2＞－3，但22＜32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2＞(－2)2，但－3＜2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
8．(2018·常熟中学测试)给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命题；②其逆否命题为真；故②是真命题；③“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．
答案：①②④
9．(2018·天一中学期末)已知p：|x－1|＞2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由|x－1|＞2，得x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1.
由x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，得[x－(1－a)][x－(1＋a)]≥0，
即x≥1＋a或x≤1－a，a＞0.
若q是p的必要不充分条件，
则解得0＜a≤2.
答案：(0,2]
10．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________条件．
解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，又S4＝2S2，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，所以a3＋a4＝a1＋a2，
所以q2＝1⇔|q|＝1，所以“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件．
答案：充要
11．(2019·南师大附中检测)设p：实数x满足x2＋2ax－3a2＜0(a＞0)，q：实数x满足x2＋2x－8＜0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解：由x2＋2ax－3a2＜0(a＞0)，得－3a＜x＜a，即p：－3a＜x＜a.
由x2＋2x－8＜0，得－4＜x＜2，即q：－4＜x＜2.
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以p能推出q，q不能推出p，
所以{x|－3a＜x＜a}{x|－4＜x＜2}，
即或
解得0＜a≤，故a的取值范围是.
12．已知集合A＝，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|logx＞1}，命题p：实数m为小于6的正整数，q：A是B成立的充分不必要条件，r：A是C成立的必要不充分条件．若命题p，q，r都是真命题，求实数m的值．
解：因为命题p是真命题，
所以0＜m＜6，m∈N，①
所以A＝＝.
由题意知，B＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}，
C＝＝.
因为命题q，r都是真命题，所以AB，CA，
所以②
由①②得m＝1.


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1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的________条件．
解析：当等比数列{an}的首项a1＜0，公比q＞1时，如an＝－2n是递减数列，所以充分性不成立；
反之，若等比数列{an}为递增数列，
则或所以必要性不成立，即“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
答案：既不充分也不必要
2．(2018·苏州木渎中学测试)若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，由得－3≤a＜0，
综上，实数a的取值范围为[－3,0]．
答案：[－3,0]
3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
解：A＝{x|x2－6x＋8＜0}＝{x|2＜x＜4}，
B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．
(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，要满足题意，
则解得≤a≤2.
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，要满足题意，
则无解．
综上，a的取值范围为.
(2)要满足A∩B＝∅，
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}
则a≥4或3a≤2，即0＜a≤或a≥4.
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，
则a≤2或a≥，即a＜0.
当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅.
综上，a的取值范围为∪[4，＋∞)．