2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题一第5讲　导数及其应用


第5讲　导数及其应用
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1．导数的几何意义
第11题


　　导数在江苏高考中主要考查：一是导数的运算法则和导数的几何意义，是中档题；二是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，一般在压轴题位置；三是应用导数解决实际问题，试题难度中等．
2．利用导数研究函数的性质

第11题
第11题
3．导数的实际运用

第17题

4．导数的综合运用
第19题
第19题
第20题

1．必记的概念与定理
(1)导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数的单调性
函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0．
f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．
(3)函数的极值
①函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
②函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
(4)函数的最值
①在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，要注意端点值与极值比较．
②若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2．记住几个常用的公式与结论
四个易误导数公式及两个常用的运算法则
(1)(sin x)′＝cos x．
(2)(cos x)′＝－sin x．
(3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)．
(4)(logax)′＝(a>0，且a≠1)．
(5)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(6)′＝(g(x)≠0)．
3．需要关注的易错易混点
(1)导数与函数单调性的关系
①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0．
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．
(2)函数的极值与最值
①函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．
②函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
③闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．


导数的几何意义
[典型例题]
(1)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
(2)(2019·南通市高三第一次调研测试)已知两曲线f(x)＝2sin x，g(x)＝acos x，x∈相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为________．　
【解析】　(1)设A(x0，ln x0)，又y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－ln x0＝(－e－x0)，化简得ln x0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．
(2)设点P的横坐标为x0，则2sin x0＝acos x0，
(2cos x0)(－asin x0)＝－1，
所以4sin2x0＝1．因为x0∈，所以sin x0＝，cos x0＝，所以a＝．
【答案】　(1)1　(2)

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．
[对点训练]

1．(2019·江苏省四星级学校联考)已知函数f(x)＝ex＋(a∈R，e为自然对数的底数)的导函数f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则x0＝________．
[解析] 由题意知f′(x)＝ex－a·e－x，因为f′(x)为奇函数，所以f′(0)＝1－a＝0，所以a＝1，故f′(x)＝ex－e－x．因为曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，所以f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝，所以x0＝ln ＝．
[答案]
2．直线l与曲线y＝ex及y＝－x2都相切，则直线l的方程为________．
[解析] 设直线l与曲线y＝ex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线y＝－x2的切点为，因为y＝ex在点(x0，e x0)处的切线的斜率为y′|x＝x0＝ex0，y＝－在点处的切线的斜率为y′|x＝x1＝＝－，则直线l的方程可表示为y＝ex0x－x0ex0＋ex0或y＝－x1x＋x，所以
所以e x0＝1－x0，解得x0＝0．所以直线l的方程为y＝x＋1．
[答案] y＝x＋1

利用导数研究函数的性质
[典型例题]
(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知函数h(x)＝bxln x的图象经过点(e，2e)，函数f(x)＝x－(a，b∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：f(x2)＜x2－1．
【解】　(1)因为函数h(x)＝bxln x的图象经过点(e，2e)，所以b＝2，所以函数h(x)＝2xln x，故函数f(x)＝x－－2ln x，
f′(x)＝1＋－＝，
令f′(x)＝0，得x2－2x＋a＝0，其判别式Δ＝4－4a，
①当Δ≤0，即a≥1时，x2－2x＋a≥0，f′(x)≥0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当Δ＞0，即a＜1时，方程x2－2x＋a＝0的两根为x1＝1－，x2＝1＋＞1，
若a≤0，则x1≤0，则当x∈(0，x2)时，f′(x)＜0，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，
此时f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增；
若0＜a＜1，则x1＞0，则当x∈(0，x1)时，f′(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，
此时f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，函数f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增；当a≥1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)可知，函数f(x)有两个极值点x1，x2，等价于方程x2－2x＋a＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，故0＜a＜1．
由(1)得当0＜a＜1时，x2＝1＋，则1＜x2＜2，a＝－x＋2x2．　
f(x2)－x2＋1＝x2－－2ln x2－x2＋1＝x2－2ln x2－1．
令g(t)＝t－2ln t－1，
则g′(t)＝1－＝，
当1＜t＜2时，g′(t)＜0，
故g(t)在(1，2)上单调递减．
故g(t)＜g(1)＝1－2ln 1－1＝0．
所以f(x2)－x2＋1＝g(x2)＜0，
即f(x2)＜x2－1．

利用导数研究函数性质的一般步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x(x>0)，
所以f′(x)＝2x－3＋＝，
所以f(1)＝－2，f′(1)＝0．所以切线方程为y＝－2．
(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域为(0，＋∞)，
当a>0时，
f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝
＝，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝．
①当0