2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题五第3讲　直线、圆与椭圆的综合运用


第3讲　直线、圆与椭圆的综合运用
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1．交点、定点、定值问题
第17题
第18题
第17题
解析几何综合是江苏高考必考题．填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，主要是以椭圆为背景；解答题主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，计算量大，重点关注交点、定点、定值及最值、范围问题．
2．范围、最值问题



3．探索性问题




1．交点、定点、定值问题
如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值，探讨定值的问题一般为解答题．求定点、定值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定点、定值，然后再予以证明．
2．范围、最值问题
求解析几何中的有关范围最值问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题． 对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效．
圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
3．探索性问题
存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)不确定的问题．这类问题常常出现“是否存在”“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定．解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明．即：“假设——推证——定论”是解答此类问题的三个步骤．


交点、定点、定值问题
[典型例题]
(2019·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1．已知DF1＝．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求点E的坐标．
【解】　(1)设椭圆C的焦距为2c．
因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2＝2，c＝1．
又因为DF1＝，AF2⊥x轴，所以DF2＝＝＝．
因此2a＝DF1＋DF2＝4，从而a＝2．
由b2＝a2－c2，得b2＝3．
因此，椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)法一：由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2．
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1．
将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，
解得y＝±4．
因为点A在x轴上方，所以A(1，4)．
又F1(－1，0)，所以直线AF1：y＝2x＋2．
由得5x2＋6x－11＝0，
解得x＝1或x＝－．
将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－．
因此B．又F2(1，0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．
由得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝．
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1．
将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－．
因此E．
法二：由(1)知，椭圆C：＋＝1．如图，连接EF1．因为BF2＝2a，EF1＋EF2＝2a，所以EF1＝EB，

从而∠BF1E＝∠B．
因为F2A＝F2B，所以∠A＝∠B．
所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A．
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．
因为F1(－1，0)，由得y＝±．
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－．因此E．

(1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2)解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后根据直线系方程过定点时方程成立与参数没有关系，得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．当定点具备一定的限制条件时，可特殊对待．
[对点训练]
1．(2019·苏州市高三调研测试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P(2，－1)．

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．
[解] (1)因为椭圆C的离心率＝，所以＝，即a2＝4b2，
所以椭圆C的方程可化为x2＋4y2＝4b2，
又椭圆C过点P(2，－1)，
所以4＋4＝4b2，得b2＝2，则a2＝8．
所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)由题意，设直线PA的方程为y＋1＝k(x－2)，
联立方程得消去y得：(1＋4k2)x2－8(2k2＋k)x＋16k2＋16k－4＝0．
所以2x1＝，即x1＝．
因为直线PQ平分∠APB，即直线PA与直线PB的斜率互为相反数，
设直线PB的方程为y＋1＝－k(x－2)，同理求得x2＝．
又所以y1－y2＝k(x1＋x2)－4k．
即y1－y2＝k(x1＋x2)－4k＝k－4k＝－，x1－x2＝．
所以直线AB的斜率为kAB＝＝＝－．
所以直线AB的斜率是定值－．

范围、最值问题
[典型例题]
(2019·泰州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为．

(1)求椭圆E的标准方程；
(2)证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；
(3)求△BCD面积的最大值．
【解】　(1)由题意得＝，－c＝，
解得a＝3，c＝，所以b＝＝2，
所以椭圆E的标准方程为＋＝1．
(2)设B(x0，y0)，C(－x0，y0)，显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，设为k1，k2，k3，k4，
则k1＝，k2＝，k3＝－，k4＝，
所以直线BD，CD的方程为y＝－(x－x0)＋y0，
y＝(x＋x0)＋y0，
消去y得－(x－x0)＋y0＝(x＋x0)＋y0，
化简得x＝3，故点D在定直线x＝3上运动．
(3)由(2)得点D的纵坐标为yD＝(3＋x0)＋y0，
又＋＝1，所以x－9＝－，则yD＝(3＋x0)＋y0＝＋y0＝－y0，
所以点D到直线BC的距离h为|yD－y0|＝＝|y0|，
将y＝y0代入＋＝1得x＝±3，
即BC＝6，所以△BCD面积S△BCD＝BC·h＝×6·|y0|
＝ ·|y0|≤·＝，当且仅当1－＝，即y0＝±时等号成立，故y0＝±时，△BCD面积的最大值为．

求范围最常见的解法有两种：代数法和几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求范围．求范围常用方法有配方法，判别式法，基本不等式法及函数的单调性法，这种方法称为代数法． 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
[对点训练]
2．(2019·南京市四校联考)已知椭圆C：＋＝1(00)的离心率为，长轴长为4．过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q．

(1)若直线l的斜率为，求的值；
(2)若＝λ，求实数λ的取值范围．
[解] (1)由条件知，，解得 ．
所以椭圆的方程为＋＝1，
圆的方程为x2＋y2＝4．
法一：直线l的方程为y＝(x＋2)，
由，消去y得，3x2＋4x－4＝0，
解得xA＝－2，xP＝，所以P(，)．
所以AP＝＝，
又原点O到直线l的距离d＝，
所以AQ＝2＝，
所以＝＝．
法二：由，消去x得，3y2－4y＝0，
所以yP＝．
由，消去x得，5y2－8y＝0，所以yQ＝．
所以＝×＝．
(2)法一：若＝λ，则λ＝－1，
由题意知直线l的斜率存在，设为k，故直线l：y＝k(x＋2)(k≠0)，由，得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
即(x＋2)[(2k2＋1)x＋(4k2－2)]＝0，
所以xA＝－2，xP＝，得P(，)．
所以AP2＝(＋2)2＋()2＝，
即AP＝．
同理Q(，)，AQ＝ ．
所以λ＝－1＝1－．
由题意知，k2>0，所以0