2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题六第2讲　统　计

第2讲　统　计 [2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．抽样方法  第3题统计这一讲的内容在江苏高考中以填空题的形式来考查，主要考查抽样方法、总体分布的估计、总体特征数的估计．对抽样方法、频率分布直方图的识图与运用和总体估计的考查是重点．2．统计与数据处理第5题第3题 1．随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少．(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．2．常用的统计图表(1)频率分布直方图①小矩形的面积＝组距×＝频率；②各小矩形的面积之和等于1；③小矩形的高＝，所有小矩形的高的和为．(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．3．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征样本数据频率分布直方图众数出现次数最多的数据取最高的小矩形底边中点的横坐标中位数将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分成左右两边面积相等的分界线与x轴交点的横坐标平均数样本数据的算术平均数每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和(2)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．标准差：s＝．抽样方法[典型例题] (1)(2019·南通市高三调研)为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3 000人，则该校学生总人数是________．(2)(2019·江苏名校高三入学摸底)某班有学生45人，现将所有学生按1，2，3，…，45随机编号，并采用系统抽样的方法从中抽取5名学生参加学习情况问卷调查，已知抽取的学生的编号分别为3，a，21，b，39，则a＋b＝________．　【解析】　(1)设该校学生总人数为n，则＝，解得n＝7 500．(2)由系统抽样的知识得，抽取的5个编号依次为3，12，21，30，39，所以a＋b＝12＋30＝42．【答案】　(1)7 500　(2)42分层抽样(1)要点：总体分层，按照比例，独立抽取；(2)适合范围：总体可以分层，层与层之间有明显差异，而层内个体差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层在总体中所占比例抽取．系统抽样(1)要点：个体编号，确定间隔，随机选一，等距抽取．(2)当(N为总体中个体数目，n为样本容量)不是整数时，先从总体中随机剔除一些个体；在每一个间隔中，采用简单随机抽样抽取第一个个体．[对点训练]1．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．　[解析] 依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x人，根据分层抽样特点，得＝，解得x＝12．[答案] 122．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n＝________．[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36．当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6，12，18．当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n只能取6．即样本容量n＝6．[答案] 6统计与数据处理[典型例题] (1)(2019·高考江苏卷)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．(2)(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(一))某电商联盟在“双11”狂欢节促销活动中，对11月11日9时到14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知13时到14时的销售额为4．5万元，则10时到13时的销售额为________万元．【解析】　(1)数据6，7，8，8，9，10的平均数是＝8，则方差是＝．(2)设10时到13时的销售额为x万元，由题图可知13时到14时的销售额与10时到13时的销售额的比值为＝，又13时到14时的销售额为4．5万元，所以＝，解得x＝36，所以10时到13时的销售额为36万元．【答案】　(1)0．1　(2)36注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距．描述数据的数字特征有平均数、众数、中位数、方差等，其中平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差反映各个数据与其平均数的离散程度．解题时重在理解概念、公式并正确进行计算．[对点训练]3．(2018·高考江苏卷)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．[解析] 由茎叶图可得分数的平均数为＝90．[答案] 904．(2019·江苏省高考名校联考(二))江苏省某市阜宁县遭遇强冰雹和龙卷风双重灾害，多个乡镇受灾严重．小明随机调查了受灾地某小区的50户居民的经济损失，将收集的数据分成五组，作出如图所示的频率分布直方图，估计该小区的经济损失的平均数为________元(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．[解析] 由频率分布直方图可得该小区的50户居民的经济损失的平均数为1 000×(0．000 15×2 000)＋3 000×(0．000 20×2 000)＋5 000×(0．000 09×2 000)＋7 000×(0．000 03×2 000)＋9 000×(0．000 03×2 000)＝3 360(元)，由样本估计总体知该小区的经济损失的平均数为3 360元．[答案] 3 3601．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知一组数据1，2，3，4，5m的方差为2，那么相对应的另一组数据2，4，6，8，10m的方差为________．[解析] 1，2，3，4，5m的平均数＝2＋m，方差s2＝＝2，而2，4，6，8，10m的平均数1＝4＋2m，方差s＝4×＝4×2＝8．[答案] 82．(2019·扬州期末)已知样本6，7，8，9，m的平均数是8，则标准差是________．[解析] 因为＝＝8，所以m＝10，故s＝＝．[答案] 3．(2019·高三第二次调研测试)某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为______．[解析] 根据题意知，从该单位行政人员中抽取了7人，设该单位行政人员的人数为n，则n＝7，解得n＝35．[答案] 354．(2019·苏北四市模拟)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．[解析] 由题意得：甲＝＝92，乙＝＝92，故s＝(16＋0＋16)＝，s＝(4＋1＋9)＝，故方差较小的那组同学成绩的方差为．[答案] 5．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)某中学举办了以“美丽中国，我是行动者”为主题的环保知识竞赛，赛后从参赛者中随机抽取了100人，将他们的竞赛成绩(单位：分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．并得到如图所示的频率分布直方图，其中“竞赛成绩不低于70分”的人数为______．[解析]  由题意知a＝(1－0．05－0．1－0．2－0．25－0．1)÷10＝0．030，所以“竞赛成绩不低于70分”的频率为0．3＋0．25＋0．1＝0．65，所以“竞赛成绩不低于70分”的人数为100×0．65＝65．[答案] 656．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)《幸福账单》在南通地区的选拔规则如下：每位参赛选手的才艺展示由7位评委打分(总分100分)，去掉一个最低分和一个最高分，取其余5位评委打分的平均数作为该选手的成绩．已知某选手的得分情况如茎叶图所示，则该选手的成绩为________．[解析] 由题意可知该选手的成绩是80、83、85、87、90这5个数的平均数，即＝85．[答案] 857．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h～120 km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为______________________________________．[解析] 从频率分布直方图可知，非正常行驶的机动车辆频率为(0．002 5＋0．005 0)×20＝0．150，故所求车辆数为0．150×100＝15．[答案] 158．某校有甲、乙、丙3个高三文科班，其中甲班有47人，乙班有51人，丙班有49人．现分析3个班的某一次数学考试成绩，计算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是90分，丙班的平均成绩是87分，则该校这3个高三文科班的数学平均成绩是________分．[解析] 由题意知，3个高三文科班的数学平均成绩＝＝89．[答案] 899．如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正确的序号是________．①众数是9；②平均数是10；③中位数是9或10；④标准差是3．4．[解析] 由茎叶图知，该组数据为7，8，9，9，9，10，11，12，12，13，所以众数为9，①正确；中位数是＝9．5，③错；平均数是＝(7＋8＋9＋9＋9＋10＋11＋12＋12＋13)＝10，②正确；方差是s2＝[(7－10)2＋(8－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝3．4，标准差s＝，④错．[答案] ①②10．网络上有一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．[解析] 由最小的两个编号为03，09可知，抽样间距为6，因此抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋(10－1)×6＝57．[答案] 5711．(2019·南京、盐城模拟)已知一组数据：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7构成公差为d的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d等于________．[解析] 这组数据的平均数为＝＝a4，又因为这组数据的方差等于1，所以[(a1－a4)2＋(a2－a4)2＋(a3－a4)2＋(a4－a4)2＋(a5－a4)2＋(a6－a4)2＋(a7－a4)2]＝＝1，即4d2＝1，解得d＝±．[答案] ±12．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为________．[解析] 由题图1得到小波一星期的总开支，由题图2得到小波一星期的食品开支，从而借助题图2计算出鸡蛋开支占总开支的百分比．由题图2知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300元，由题图1知，小波一星期的总开支为＝1 000元，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为×100%＝3%．[答案] 3%13．“中国人均读书4．3本(包括网络文学和教科书)，比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家．”这个论断被各种媒体反复引用．出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求在这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数；(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数．[解] (1)由频率分布直方图知年龄在[40，70)的频率为(0．020＋0．030＋0．025)×10＝0．75，故这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数为40×0．75＝30．(2)这40名读书者年龄的平均数为25×0．05＋35×0．10＋45×0．20＋55×0．30＋65×0．25＋75×0．10＝54．设中位数为x，则0．005×10＋0．010×10＋0．020×10＋0．030×(x－50)＝0．5，解得x＝55，故这40名读书者年龄的中位数为55．14．(2018·高考全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位： m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0．1)[0．1，0．2)[0．2，0．3)[0．3，0．4)[0．4，0．5)[0．5，0．6)[0．6，0．7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0．1)[0．1，0．2)[0．2，0．3)[0．3，0．4)[0．4，0．5)[0．5，0．6)频数151310165(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)[解] (1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0．35 m3的频率为0．2×0．1＋1×0．1＋2．6×0．1＋2×0．05＝0．48．因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0．35 m3的概率的估计值为0．48．(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为1＝(0．05×1＋0．15×3＋0．25×2＋0．35×4＋0．45×9＋0．55×26＋0．65×5)＝0．48．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为2＝(0．05×1＋0．15×5＋0．25×13＋0．35×10＋0．45×16＋0．55×5)＝0．35．估计使用节水龙头后，一年可节省水(0．48－0．35)×365＝47．45(m3)．