课时作业(十五) 导数与函数的极值、最值 练习

课时作业(十五)　导数与函数的极值、最值一、选择题1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　)A．y＝x3　　　　　　　　B．y＝ln(－x)C．y＝xe－x              D．y＝x＋解析：由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．答案：D2．函数y＝的最大值为(　　)A．e－1  B．e    C．e2   D.解析：令y′＝＝0，解得x＝e.当x>e时，y′<0；当0<x<e时，y′>0，所以y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.答案：A3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．答案：D4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)A．－             B．－2C．－2或－       D．2或－解析：由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即，解得或，经检验满足题意，故＝－.答案：A5．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝(　　)A.  B.C.  D．1解析：因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0，得x＝，又a>，所以0<<2.当x<时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，所以f(x)max＝f＝ln－a·＝－1，解得a＝1.答案：D6．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)A．[－5,0)  B．(－5,0)C．[－3,0)  D．(－3,0)解析：由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，，解得a∈[－3,0)，故选C.答案：C二、填空题7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝________.解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，即解得或而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.答案：188．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为________cm.解析：设圆锥的体积为V cm3，高为h cm，则V＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，由V′＝0，得h＝.所以当h＝ cm时，V最大．答案：9．(2016·北京，14)设函数f(x)＝①若a＝0，则f(x)的最大值为________；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．解析：①若a＝0，则f(x)＝当x>0时，f(x)＝－2x<0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)·(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数，∴f(x)≤f(－1)＝2.∴f(x)的最大值为2.②在同一平面直角坐标系中画出y＝－2x和y＝x3－3x的图象，如图所示，当a<－1时，f(x)无最大值；当－1≤a≤2时，f(x)max＝2；当a>2时，f(x)max＝a3－3a.综上，当a∈(－∞，－1)时，f(x)无最大值．答案：①2　②(－∞，－1)三、解答题10．(2017·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝＋bln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x.求函数f(x)的单调区间及极值．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，故f′(1)＝b－a＝1，又f(1)＝a，点(1，a)在直线y＝x上，∴a＝1，则b＝2.∴f(x)＝＋2ln x且f′(x)＝，当0<x<时，f′(x)<0，当x>时，f′(x)>0，故函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为，f(x)极小值＝f＝2－2ln 2，无极大值．11．已知函数f(x)＝－ex(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值．解析：(1)f(x)＝－ex(a>0)，则f′(x)＝－ex.令－ex＝0，则x＝ln.
xln f′(x)＋0－f(x)极大值故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当ln ≥2，即0<a≤时，f(x)max＝f(2)＝－e2；当1<ln <2，即<a<时，f(x)max＝f＝ln －.当ln＜1即a＞，f(x)max＝f(1)＝－e.12．(2016·全国丙，理21)设函数f(x)＝αcos 2x＋(α－1)·(cos x＋1)，其中α＞0，记|f(x)|的最大值为A.(1)求f′(x)；(2)求A；(3)证明：|f′(x)|≤2A.解析：(1)f′(x)＝－2αsin 2x－(α－1)sin x.(2)(分类讨论)当α≥1时，|f(x)|＝|αcos 2x＋(α－1)(cos x＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f(0)．故A＝3α－2.当0＜α＜1时，将f(x)变形为f(x)＝2αcos2x＋(α－1)cos x－1.(构造函数)令g(t)＝2αt2＋(α－1)t－1，则A是|g(t)|在[－1,1]上的最大值，g(－1)＝α，g(1)＝3α－2，且当t＝时，g(t)取得极小值，极小值为g＝－－1＝－.令－1＜＜1，解得α<－(舍去)，α＞.(ⅰ)当0＜α≤时，g(t)在(－1,1)内无极值点，|g(－1)|＝α，|g(1)|＝2－3α，|g(－1)|＜|g(1)|，所以A＝2－3α.(ⅱ)当＜α＜1时，由g(－1)－g(1)＝2(1－α)＞0，知g(－1)＞g(1)＞g.又－|g(－1)|＝＞0，所以A＝＝.综上，A＝(3)证明：由(1)得|f′(x)|＝|－2αsin 2x－(α－1)sin x|≤2α＋|α－1|.当0＜α≤时，|f′(x)|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A.当＜α＜1时，A＝＋＋≥1，所以|f′(x)|≤1＋α＜2A.当α≥1时，|f′(x)|≤3α－1≤6α－4＝2A.所以|f′(x)|≤2A.