课时作业(三十九) 直接证明与间接证明 练习

课时作业(三十九)　直接证明与间接证明 一、选择题1．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为(　　)A．A≤B≤C　　　　　　B．A≤C≤BC．B≤C≤A  D．C≤B≤A解析：∵≥≥，又f(x)＝()x在R上是减函数．∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.答案：A2．(2017·上海二模)用反证法证明命题“已知，a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)A．a，b都能被5整除  B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除  D．a不能被5整除解析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选B.答案：B3．若a<b<0，则下列不等式中成立的是(　　)A.<  B．a＋>b＋C．b＋>a＋  D.<解析：∵a<b<0，∴>，又b>a，∴b＋>a＋.答案：C4．(2017·临沂模拟)命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)A．不成立  B．成立C．不能断定  D．能断定解析：∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵an＋1－an＝4(n≥1)．∴{an}是等差数列．答案：B5．设a，b∈R，已知命题p：a＝b，命题q：a2＋b2≥2ab，则p是q的(　　)A．必要不充分条件  B．充分不必要条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件解析：若a＝b，则a2＋b2≥2ab显然成立．反之，若a2＋b2≥2ab，得不到a＝b.答案：B6．(2017·青岛模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是(　　)A．0  B．1C．2  D．3解析：①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b，可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.答案：C二、填空题7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然<.∴a<b.答案：a<b8．有下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0.其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．解析：要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．答案：①③④9．如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是________．解析：∵a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0，且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b三、解答题10．设a，b，c>0，证明：＋＋≥a＋b＋c.证明：因为a，b，c>0，根据基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加得＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.11．已知a、b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)<(a2＋b2).证明：因为a、b∈(0，＋∞)，要证原不等式成立，只需证[(a3＋b3)]6<[(a2＋b2)]6，即证(a3＋b3)2<(a2＋b2)3，即证a6＋2a3b3＋b6<a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，只需证2a3b3<3a4b2＋3a2b4.因为a、b∈(0，＋∞)，所以即证2ab<3(a2＋b2)．而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab>2ab成立，以上步骤步步可逆，所以(a3＋b3)<(a2＋b2).12．设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列．解析：(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝，∴Sn＝(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1，∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．