课时作业(三十七) 基本不等式 练习

课时作业(三十七)　基本不等式一、选择题1．下列不等式一定成立的是(　　)A．lg(x2＋)>lg x(x>0)B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)解析：当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lg x(x>0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kx，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．答案：C2．(2017·青岛模拟)设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：2≤，则p是q成立的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当p成立的时候，q一定成立，但当q成立的时候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要条件．答案：B3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)A.　　　　　　　　B．4C.  D．5解析：依题意，得 ＋＝(＋)·(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.答案：C4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)A．[0,2]  B．[－2,0]C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]解析：∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.答案：D5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：∵不等式x＋<m2－3m有解，∴(x＋)min<m2－3m，∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，∴(x＋)min＝4，故m2－3m>4，解得m<－1或m>4，∴实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)，故选B.答案：B6．(2017·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是(　　)A.  B.C．2＋  D．2－解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，∴＝＝≥＝，当且仅当n＝4时取等号．∴的最小值是，故选A.答案：A二、填空题7．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．解析：由已知得＝1，则＝＋＝＝≥(10＋2)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号．答案：98．若∀x∈(0，＋∞)，≤a恒成立，求a的取值范围________．解析：设f(x)＝＝∵x>0，∴x＋≥2＝4∴f(x)max＝，∴a≥答案：[，＋∞)9．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．解析：设底面矩形的一条边长是x m，总造价是y元，由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．答案：160三、解答题10．已知x>0，y>0，z>0.求证：≥8.证明：因为x>0，y>0，z>0，所以＋≥>0，＋≥>0，＋≥>0，所以≥＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立．11．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求z＝＋的最小值．解析：(1)∵x>0，a>2x，∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×2＝，当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为 .(2)由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10，即＋＝≥＝2，∴min＝2，当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．故z最小值为2.12．某化工企业2016年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解析：(1)由题意得，y＝，即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．(2)由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．