北师大版 (2019)必修 第一册1 指数幂的拓展优秀教案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册1 指数幂的拓展优秀教案，共7页。教案主要包含了eq等内容，欢迎下载使用。

§1 指数幂的拓展








1．根式


(1)定义：式子 eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．


(2)性质：(n＞1，且n∈N*)


① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a))) eq \s\up8(n)＝a．② eq \r(n,an)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数．))


2．正分数指数幂


给定正数a，和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的 eq \f(m,n)次幂，记作b＝a eq \s\up6(\f(m,n))，这就是正分数指数幂．


3．分数指数幂


思考：根式与分数指数幂有什么关系？


提示： eq \r(n,am)＝a eq \s\up6(\f(m,n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，m，n∈N＋，且n>1)).





1．计算243 eq \s\up6(\f(1,5))等于( )


A．9 B．3 C．±3 D．－3


B [由35＝243，得243 eq \s\up6(\f(1,5))＝3.]


2．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝( )


A．5 eq \s\up6(－ eq \f(3n,m)) B．5 eq \s\up6(－ eq \f(m,3n)) C．5 eq \s\up6( eq \f(3n,m)) D．5 eq \s\up6( eq \f(m,3n))


[答案] B


3．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，


(1) eq \r(a3)＝________；(2) eq \f(1,\r(3,a5))＝________．


(1)a eq \s\up6(\f(3,2)) (2)a eq \s\up6(－ eq \f(5,3)) [(1) eq \r(a3)＝a eq \s\up6(\f(3,2)).


(2) eq \f(1,\r(3,a5))＝ eq \f(1,a\s\up6(\f(5,3)))＝a eq \s\up6(－ eq \f(5,3)).]


4．若－1

[解] 原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))\s\up8(2))－ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))\s\up8(2))＝|x－2|－|x＋1|.


∵－10，x－2<0，


∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.








根式的化简与求值


【例1】 化简：


(1) eq \r(n,（x－π）n)(x＜π，n∈N*)；


(2) eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))\s\up8(4)).


[解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0.


当n为偶数时， eq \r(n,（x－π）n)＝|x－π|＝π－x；


当n为奇数时， eq \r(n,（x－π）n)＝x－π.


综上可知， eq \r(n,（x－π）n)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.))


(2) eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))\s\up8(4))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋2))＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥2,－x－2，x<－2)) .





正确区分 eq \r(n,an)与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a))) eq \s\up8(n)


(1) eq \r(n,an)表示a的n次方的n次方根，而 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a))) eq \s\up8(n)表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．


(2)运算结果不同


① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a))) eq \s\up8(n)＝a.② eq \r(n,an)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数．))





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．若xy≠0，则使 eq \r(4x2y2)＝－2xy成立的条件可能是( )


A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0


C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0


B [∵ eq \r(4x2y2)＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.


又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.]


2．若 eq \r(（2a－1）2)＝ eq \r(3,（1－2a）3)，则实数a的取值范围为________．


eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) [ eq \r(（2a－1）2)＝|2a－1|， eq \r(3,（1－2a）3)＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤ eq \f(1,2).]





根式与分数指数幂的互化


【例2】 (1)3 eq \s\up6(\f(3,2))可化为( )


A． eq \r(2) B． eq \r(3,3)


C． eq \r(3,27) D． eq \r(27)


(2) eq \r(5,a－2)可化为( )


A．a eq \s\up8(－ eq \f(2,5)) B．a eq \s\up6(\f(5,2))


C．a eq \s\up6(\f(2,5)) D．－a eq \s\up6(\f(5,2))


[思路点拨] 熟练应用 eq \r(n,am)＝a eq \s\up6(\f(m,n))是解决该类问题的关键．


(1)D (2)A [(1)3 eq \s\up6(\f(3,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(33)) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \r(27).


(2) eq \r(5,a－2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2)) eq \s\up6(\f(1,5))＝a eq \s\up8(－ eq \f(2,5)).]





根式与分数指数幂的互化规律


1．关于式子 eq \r(n,am)＝a eq \s\up8( eq \f(m,n))的两点说明


(1)根指数n即分数指数的分母；


(2)被开方数的指数m即分数指数的分子．


2．通常规定a eq \s\up6(\f(m,n))中的底数a>0.





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：


(1) eq \f(1,\r(3,a))；(2) eq \r(4,（a－b）3).


[解] (1) eq \f(1,\r(3,a))＝ eq \f(1,a\s\up10(\f(1,3)))＝a eq \s\up6(－ eq \f(1,3)).


(2) eq \r(4,（a－b）3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b)) eq \s\up6(\f(3,4)).





求指数幂a eq \s\up6(\f(m,n))的值


【例3】 求下列各式的值：


(1)64 eq \s\up6(\f(2,3))；(2)81 eq \s\up6(－ eq \f(1,4)).


[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时，a eq \s\up6(\f(m,n))＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．


[解] (1)设64 eq \s\up6(\f(2,3))＝x，则x3＝642＝4 096，


又∵163＝4 096，


∴64 eq \s\up6(\f(2,3))＝16.


(2)设81 eq \s\up6(－ eq \f(1,4))＝x, 则x4＝81－1＝ eq \f(1,81)，


又∵( eq \f(1,3))4＝ eq \f(1,81)，


∴81 eq \s\up6(－ eq \f(1,4))＝ eq \f(1,3).





解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


4．求下列各式的值：


(1)125 eq \s\up6(\f(1,3))；(2)128 eq \s\up6(－ eq \f(1,7)).


[解] (1)设125 eq \s\up6(\f(1,3))＝x，则x3＝125，


又∵53＝125，


∴x＝5.


(2)设128 eq \s\up6(－ eq \f(1,7))＝x，则x7＝128－1＝ eq \f(1,128)，


又∵( eq \f(1,2))7＝ eq \f(1,128)，


∴128 eq \s\up6(－ eq \f(1,7))＝ eq \f(1,2).








正分数指数幂，规定：a eq \s\up6(\f(m,n))＝ eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，


负分数指数幂，规定：a eq \s\up6(－ eq \f(m,n))＝ eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝ eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，


零的分数指数幂，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)2 eq \s\up6(\f(2,3))表示 eq \f(2,3)个2相乘．( )


(2)a eq \s\up6(\f(m,n))＝ eq \r(m,an)(a>0，m，n∈N＋，且n>1).( )


(3)a eq \s\up6(－ eq \f(m,n))＝ eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，且n>1).( )


[答案] (1)× (2)× (3)√


2. eq \r(3,a－2)可化为( )


A.a eq \s\up6(－ eq \f(2,3)) B．a eq \s\up6(－ eq \f(3,2)) C．a eq \s\up6(\f(2,3)) D．－a eq \s\up6(\f(2,3))


[答案] A


3．25 eq \s\up6(\f(3,2))＝( )


A.5 B．15 C．25 D．125


[答案] D


4. 求值：(1)8 eq \s\up6(\f(2,3))；(2)25 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))；(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(5)；(4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) eq \s\up6(－ eq \f(3,4)).


[解] (1)设8 eq \s\up6(\f(2,3))＝x，则x3＝82＝64，


又∵43＝64，


∴8 eq \s\up6(\f(2,3))＝4.


(2)设25 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝x，则x2＝25－1＝ eq \f(1,25)，


又∵ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up8(2)＝ eq \f(1,25)，


∴25 eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝ eq \f(1,5).


(3)( eq \f(1,2))5＝ eq \f(1,32).


(4)设 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) eq \s\up6(－ eq \f(3,4))＝x，则x4＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) eq \s\up8(－3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8))) eq \s\up8(4)，


又∵x>0，


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81))) eq \s\up6(－ eq \f(3,4))＝ eq \f(27,8).


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)


2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点)
1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．


2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养．
分数指数幂
正分数指数幂
规定：a eq \s\up6(\f(m,n))＝ eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂
规定：a eq \s\up6(－\f(m,n))＝ eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝ eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义