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北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质优质课第2课时2课时教案
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第2课时 指数函数的综合应用
1.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为指数型函数y=kax,若牛奶在0 ℃的冰箱中,保鲜时间约为100 h,在5 ℃的冰箱中,保鲜时间约是80 h,那么在10 ℃下的保鲜时间是 ( )
A.49 h B.56 h C.64 h D.76 h
C [由题意知,指数型函数为y=kax,
于是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100=ka0,80=ka5)),所以k=100,a5= eq \f(4,5),
则当x=10时,y=100×a10=100× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))) eq \s\up8(2)=64.故选C.]
2.若定义运算:a⊕b= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a,a
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)
A [当x≥0时,3x≥3-x,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=3-x,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0,1));
当x<0时,3x<3-x,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=3x,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,1)).
故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的值域为(0,1].故选A.]
3.已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(2,2x+1)+ax,则f(2019)+f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2019))=________.
2 [f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))+f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))= eq \f(2,2x+1)+ax+ eq \f(2,2-x+1)+a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))= eq \f(2,2x+1)+ eq \f(2×2x,1+2x)=2,所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2019))+f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2019))=2.]
4.求下列函数的单调区间:(1)y=a eq \s\up6(x2+2x-3);
(2)y= eq \f(1,0.2x-1).
[解] (1)设y=au,u=x2+2x-3.
由u=x2+2x-3=(x+1)2-4知,u在(-∞,-1]上为减函数,在[-1,+∞)上为增函数.
根据y=au的单调性,当a>1时,y关于u为增函数;
当0
∴ 当a>1时,原函数的增区间为[-1,+∞),减区间为(-∞,-1];
当0
(2)函数的定义域为{x|x≠0}. 设y= eq \f(1,u-1),u=0.2x. 易知u=0.2x为减函数.
而根据y= eq \f(1,u-1)的图象可以得到,在区间(-∞,1)与(1,+∞)上,y关于u均为减函数.
∴在(-∞,0)上,原函数为增函数;在(0,+∞)上,原函数也为增函数.
指数函数图象的应用
【例1】 若函数f(x)= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax,x>1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4-\f(a,2)))x+2,x≤1))是R上的增函数,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(1,8)
C.(4,8) D.[4,8)
D [因为f(x)在R上是增函数,故结合图象(图略)知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>1,,4-\f(a,2)>0,,4-\f(a,2)+2≤a,))解得4≤a<8.]
判断一个函数是指数函数,需判断其解析式是否可化为y=ax(a>0,且a≠1)的形式.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1.方程 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x-1))=k有两解,则k的范围为________.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,1)) [函数y= eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x-1))的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.
∴当0
指数函数性质的应用
【例2】 判断f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x2-2x)的单调性,并求其值域.
[解] 令u=x2-2x,则原函数变为y= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(u).
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,
又∵y= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(u)在(-∞,+∞)上递减,
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x2-2x)在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴y= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(u),u∈[-1,+∞),
∴0< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(u)≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(-1)=2,
∴原函数的值域为(0,2].
1.本例中“x∈R”变为“x∈[-1,2]”.判断f(x)的单调性,并求其值域.
[解] 由本例解析知x∈[-1,2],
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x2-2x)(x∈[-1,2])在[-1,1]上是增函数,在(1,2]上是减函数.
∵u=x2-2x(x∈[-1,2])的最小值、最大值分别为umin=-1,umax=3,
∴f(x)的最大值、最小值分别为f(1)= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(-1)=2,f(-1)= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(3)= eq \f(1,8).
∴函数f(x)的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8),2)).
2.在本例条件下,解不等式f(x)<f(1).
[解] ∵f(x)<f(1),即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(x2-2x)< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(-1),
∴x2-2x>-1,∴(x-1)2>0,∴x≠1,
∴不等式的解集为{x|x≠1}.
函数y=af(x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0,且a≠1))的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y=af(x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0,a≠1))的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0
(2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,根据“同增异减”求出y=f(φ(x))的单调区间.
指数函数的实际应用
【例3】 某林区2019年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并写出此函数的定义域.
[解] 现有木材的蓄积量为200万立方米,经过1年后木材的蓄积量为200+200×5%=200(1+5%);
经过2年后木材的蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200×(1+5%)2万立方米;
…
经过x年后木材的蓄积量为200×(1+5%)x万立方米.
故y=f(x)=200×(1+5%)x,x∈N*.
解决指数函数应用题的流程
(1)审题:理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息.
(2)建模:据已知条件,列出指数函数的关系式.
(3)解模:运用数学知识解决问题.
(4)回归:还原为实际问题,归纳得出结论.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了________天.
19 [假设第一天荷叶覆盖水面面积为1,则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2x-1,当x=20时,长满水面,所以生长19天时,荷叶布满水面一半.]
1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质分底数a>1,0<a<1两种情况,但不论哪种情况,指数函数都是单调的.
2.由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域为R,即x∈R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.
3.求函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域的方法如下:
(1)换元,令u=f(x),并求出函数u=f(x)的定义域;
(2)求u=f(x)的值域t∈M;
(3)利用y=at的单调性求y=at在u∈M上的值域.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)y=21-x是R上的增函数.( )
(2)若a>b>0,且ax=bx,则x=0.( )
(3)函数y=2|x|的值域是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,+∞)).( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.若方程ax-x-a=0有两个实数解,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(0,2) D.(0,+∞)
A [由ax-x-a=0,得ax=x+a,
当a>1时.y=ax,y=x+a图象有两个交点;
当0
3.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是( )
A.1<|a|<2 B.|a|<1
C.|a|> eq \r(2) D.|a|< eq \r(2)
C [∵x>0时,f(x)=(a2-1)x的值总大于1,
∴a2-1>1,∴a2>2,∴|a|> eq \r(2).]
4.已知2x2-x≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up8(x-1),求函数y=2x-2-x的值域;
[解] 由2x2-x≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up8(x-1)=2-2x+2,得x2-x≤-2x+2,即x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1.
令t=2x,t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4),2)),则y=t- eq \f(1,t),易知y=t- eq \f(1,t)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4),2))上是增函数,
所以,函数y=t- eq \f(1,t)的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(15,4),\f(3,2))),即函数y=2x-2-x的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(15,4),\f(3,2))).
学 习 目 标
核 心 素 养
在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用.(重点)
借助指数函数图象及性质的应用,培养逻辑推理及数学运算素养.
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