高中数学1 指数幂的拓展学案及答案

这是一份高中数学1 指数幂的拓展学案及答案，共18页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1、理解分数指数幂的概念；（重点）


2、会进行分数指数幂与根式的互化；（难点）


3、了解无理数指数幂的概念。（重点）


学科素养


通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养；


通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养


【知识清单】


1、根式


(1)定义：式子 eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 ．


(2)性质：(n＞1，且n∈N*)


① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a))) eq \s\up8(n)＝ ．② eq \r(n,an)＝


2、正分数指数幂


给定正数a，和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的 eq \f(m,n)次幂，记作b＝ ，这就是正分数指数幂．


3、分数指数幂





【基础过关】


1、用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，


(1) eq \r(a3)＝________；(2) eq \f(1,\r(3,a5))＝________


2、(3－2x) eq \s\up6(－ eq \f(3,4))中x的取值范围是_______


3、式子b-2n=π6m中的正数b写成分数指数幂为


【经典例题】


题型一 根式的化简


例1、化简：


(1) eq \r(n,（x－π）n)(x＜π，n∈N*)；








题型二 根式与分数指数幂的互化


例2、将 eq \r(5,a－2)化为分数指数幂的形式











题型三 指数幂的值


例3、求下列各式的值：


(1)64 eq \s\up6(\f(2,3))；(2)81 eq \s\up6(－ eq \f(1,4)).











【课堂达标】


1、()4运算的结果是（ ）


A．2B．－2C．±2D．不确定


2、下列各式正确的是（ ）


A．B．


C．D．


3、下列命题中正确的个数为（ ）


①，②，则，③，④


A．0B．1C．2D．3


4、（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）


A．B．


C．D．


5、＋的值是________


6、当时，________


7、（1）计算：；








（2）化简：.











【能力提升】


1、若有意义，则x的取值范围是（ ）


A．且B．C．D．


2、下列说法正确的是（ ）


A．正数的次方根是正数B．负数的次方根是负数


C．0的次方根是0D．是无理数


3、已知二次函数的图象如图所示，则的值为（ ）





A．B．C．D．


4、设，则其中最大的数是 （ ）


A．aB．bC．cD．d


5．（多选题）若，则下列说法中正确的是（ ）


①当为奇数时，的次方根为；②当为奇数时，的次方根为；


③当为偶数时，的次方根为；④当为偶数时，的次方根为．


A．①B．②


C．③D．④


6、=_____________．（写成分数指数幂形式）


7、下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的式子的序号有________


8、若，则＝________.


9、（1）化简：（2）求值：














10、已知是方程 的两根，且 ，求的值





























【参考答案】


【知识清单】


1、（1）根指数；被开方数 （2）①a；② eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数．))


2、a eq \s\up6(\f(m,n))


3、 eq \r(n,am)， eq \f(1,\r(n,am)) ,没有意义


【基础过关】


答案：(1)a eq \s\up6(\f(3,2)) (2)a eq \s\up6(－ eq \f(5,3)).


解析：


(1) eq \r(a3)＝a eq \s\up6(\f(3,2)). (2) eq \f(1,\r(3,a5))＝ eq \f(1,a\s\up6(\f(5,3)))＝a eq \s\up6(－ eq \f(5,3)).


答案：x< eq \f(3,2)


解析：


要使该式有意义，需3－2x>0，


即x< eq \f(3,2).


3、答案: QUOTE π-3mn π-3mn


【解析】


b= QUOTE π-6m2n π-6m2n= QUOTE π-3mn π-3mn.


【经典例题】


解析


∵x＜π，∴x－π＜0.


当n为偶数时， eq \r(n,（x－π）n)＝|x－π|＝π－x；


当n为奇数时， eq \r(n,（x－π）n)＝x－π.


综上可知， eq \r(n,（x－π）n)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.))


解析： eq \r(5,a－2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2)) eq \s\up6(\f(1,5))＝a eq \s\up8(－ eq \f(2,5)).


[解析]


(1)设64 eq \s\up6(\f(2,3))＝x，则x3＝642＝4 096，


又∵163＝4 096，∴64 eq \s\up6(\f(2,3))＝16.


(2)设81 eq \s\up6(－ eq \f(1,4))＝x, 则x4＝81－1＝ eq \f(1,81)，


又∵( eq \f(1,3))4＝ eq \f(1,81)，∴81 eq \s\up6(－ eq \f(1,4))＝ eq \f(1,3).


[课堂达标]


1．【答案】A


【解析】


【分析】


根据指数运算性质，即可容易求得结果.


【详解】


由指数运算法则，容易得：()4=2.


故选：A.


【点睛】


本体考查根式的运算和指数的运算，属简单题.


2．【答案】D


【解析】


【分析】


根式化简及零指数意义.


【详解】


对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；


对于B，，当时无意义，故B不正确；


对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；


对于D，，故D正确.


故选：D.


【点睛】


根式化简注意根指数的奇偶性.


3.【答案】B


【解析】


【分析】


根据根式与指数幂运算的运算法则依次判断各个选项即可得到结果.


【详解】


①当为偶数时，，①错误；


②当时，，则，②正确；


③，③错误；


④，④错误


故选：


【点睛】


本题考查根式与指数幂的运算、化简，属于基础题.


4.【答案】CD


【解析】


【分析】


结合根式与分数指数幂的互化即可得解.


【详解】


解：对于选项A,因为，而，即A错误；


对于选项B，因为，即B错误；


对于选项C， ，即C正确；


对于选项D， ，即D正确，


故选：CD．


【点睛】


本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.


5、【答案】0或2(a－b)


【解析】


【分析】


利用根式的性质即可求解.


【详解】


解析＋＝|a－b|＋(a－b)＝.


故答案为：0或2(a－b).


【点睛】


本题考查了根式的化简，需掌握根式的性质，属于基础题.


6、【答案】2


【解析】


【分析】


首先判断根式中的式子符号，去根式即可求解.


【详解】


∵，∴，，


∴.


故答案为：2


【点睛】


本题考查了根式的性质以及运算，属于基础题.


7、【答案】（1）22；（2）.


【解析】


【分析】


（1）利用指数运算公式化简；（2）利用化简，再根据指数运算公式化简.


【详解】


（1）；


（2）.


【点睛】


本题考查了指数运算公式和根式与分数指数幂的运算公式，意在考查公式转化和计算能力.


【能力提升】


1．【答案】A


【解析】


【分析】


直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.


【详解】


要使原式有意义，则解得且.


故选：A.


【点睛】


本题考查使指数幂有意义的的取值范围，考查运算求解能力，属于基础题.


2【答案】C


【解析】


【分析】


根据次方根的知识对选项逐一分析，由此求得正确选项.


【详解】


对于A选项，如的平方根为，故A选项错误.


对于B选项，如，没有平方根，故B选项错误.


对于C选项，的次方根是，故C选项正确.


对于D选项，如是有理数，所以D选项错误.


故选：C


【点睛】


本小题主要考查次方根的知识，属于基础题.


3．【答案】D


【解析】


【分析】


由，再结合二次函数图像可得即，得解.


【详解】


解：因为，


由二次函数的图象可得： ，


即，


所以，


故选：D.


【点睛】


本题考查了根式的运算及二次函数图像的性质，重点考查了运算能力，属基础题.


4．【答案】C


【解析】


【分析】


直接计算出所有的数值判断即可.


【详解】


由题,, ,,.


因为.故最大的数为.


故选：C


【点睛】


本题主要考查了指数幂的运算,属于基础题型.


5．【答案】BD


【解析】


【分析】


分别考查n为奇数和偶数时方根的结论即可得到正确选项.


【详解】


当为奇数时，的次方根只有1个，为；


当为偶数时，由于 ，所以的次方根有2个，为．


所以说法②④是正确的，


故选BD.


【点睛】


本题主要考查n次方根的定义与求解，属于基础题.


6、【答案】


【解析】


【分析】


根据分数指数幂的性质和指数的运算公式，得到答案.


【详解】








故答案为：


【点睛】


本题考查分数指数幂与根式的互化，属于简单题.


7、【答案】①②⑤


【解析】


【分析】


由分数指数幂与根式的互化公式逐个分析.


【详解】


①，结论①正确；


②，结论②正确；


根据定义，分数指数幂的底数为正数，结论③错误；


④，结论④错误；


⑤，结论⑤正确。


故答案为：①②⑤


【点睛】


此题考查分数指数幂与根式的互化，考查指数幂的运算，考查推理能力，属于基础题.


8、【答案】-1


【解析】


【分析】


利用绝对值和开偶次方根的运算法则化简即可.


【详解】


∵，∴ ，，∴＝x－x－1＝－1.


故答案为：-1


【点睛】


本题考查了绝对值和开偶次方根的运算法则，属于基础题.


9、【答案】（1）；（2）


【解析】


【分析】


（1）直接利用指数运算公式得到答案.


（2）直接计算得到答案.


【详解】


（1）


（2）


【点睛】


本题考查化简和计算，意在考查学生的计算能力.


10、【答案】


【解析】


【分析】


由韦达定理得，先求出


，然后两边开方可得结果.


【详解】


因为是方程的两根，所以，


因为，所以，所以，


所以，所以.


【点睛】


本题主要考查根式的运算，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.







































































分数指数幂
正分数指数幂
规定：a eq \s\up6(\f(m,n))＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂
规定：a eq \s\up6(－\f(m,n))＝ eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂