高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式本章综合与测试精品达标测试

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式本章综合与测试精品达标测试，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(十一) 基本不等式的应用


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．若a＞1，则a＋eq \f(1,a－1)的最小值是( )


A．2 B．a


C．eq \f(2\r(a),a－1) D．3


D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋eq \f(1,a－1)＝a－1＋eq \f(1,a－1)＋1≥


2eq \r( a－1·\f(1,a－1))＋1＝3．]


2．已知f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x<0)，则f(x)有( )


A．最大值为0 B．最小值为0


C．最大值为－4 D．最小值为－4


C [∵x<0，∴f(x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时取等号．]


3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋eq \f(1,a)，n＝a＋eq \f(1,b)，则m＋n的最小值是( )


A．3 B．4


C．5 D．6


B [由题意知ab＝1，∴m＝b＋eq \f(1,a)＝2b，n＝a＋eq \f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq \r(ab)＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．]


4．若x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，则x＋y的最小值是( )


A．3B．6


C．9 D．12


C [x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)＋4


＝5＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥5＋2eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝5＋4＝9．


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)＝1，,\f(y,x)＝\f(4x,y)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝6))时等号成立，故x＋y的最小值为9．]


5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )


A．16B．25


C．9D．36


B [(1＋x)(1＋y)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋x＋1＋y,2)))eq \s\up12(2)


＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2＋x＋y,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋8,2)))eq \s\up12(2)＝25，


因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，


(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]


二、填空题


6．函数y＝x＋eq \f(1,x＋1)(x≥0)的最小值为___________．


[答案] 1


7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是____________dm2．





56 [设阴影部分的高为x dm，则宽为eq \f(72,x) dm，四周空白部分的面积是y dm2．


由题意，得y＝(x＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(72,x)＋2))－72


＝8＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(144,x)))≥8＋2×2eq \r(x·\f(144,x))＝56(dm2)．


当且仅当x＝eq \f(144,x)，即x＝12 dm时等号成立．]


8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是____________．


[6，＋∞) [∵a，b∈(0，＋∞)，a＋b＋3＝ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)，


∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解之得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．]


三、解答题


9．已知a>b>0，求a2＋eq \f(16,ba－b)的最小值．


[解] ∵a>b>0，


所以b(a－b)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋a－b,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(a2,4)，


∴a2＋eq \f(16,ba－b)≥a2＋eq \f(64,a2)≥16．


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝a－b，,a2＝8，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(2)，,b＝\r(2)))时取等号．


故a2＋eq \f(16,ba－b)的最小值为16．


10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋eq \f(784,x＋3)－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)


[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得


y＝2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(784,x＋3)－118))＝118－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(784,x＋3)))


＝118－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4x＋3＋\f(784,x＋3)－12))


＝130－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4x＋3＋\f(784,x＋3)))


≤130－2eq \r(4x＋3·\f(784,x＋3))＝130－112＝18(千元)，


当且仅当4(x＋3)＝eq \f(784,x＋3)，即x＝11时取等号．


所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．





1．若－4

A．有最小值1 B．有最大值1


C．有最小值－1 D．有最大值－1


D [f(x)＝eq \f(x2－2x＋2,2x－2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(1,x－1)))，


又∵－40．


故f(x)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x－1＋\f(1,－x－1)))≤－1．


当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝0时等号成立．]


2．已知x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )


A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)


C．(－2,4) D．(－4,2)


D [∵x>0，y>0且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，


∴x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)


≥4＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，


即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，


即8>m2＋2m，解得－4

3．已知实数x，y，z满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＋2z＝1，,x2＋y2＋z2＝5，))则xyz的最小值为_____________．


9eq \r(11)－32 [由xy＋2z＝1，得z＝eq \f(1－xy,2)，


所以5＝x2＋y2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－xy,2)))eq \s\up12(2)≥2|xy|＋eq \f(1－xy2,4)，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy≥0，,x2y2＋6xy－19≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy<0，,x2y2－10xy－19≤0，))


解得0≤xy≤－3＋2eq \r(7)或5－2eq \r(11)≤xy＜0，


所以xyz＝xy·eq \f(1－xy,2)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,8)．


综上，知当xy＝5－2eq \r(11)时，xyz取得最小值9eq \r(11)－32．]


4．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝eq \f(1,□)＋eq \f(9,□)，则这两个数的和_______________．


16 [设eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，a，b∈N*，


∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b)))


＝1＋9＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)


≥10＋2eq \r(\f(b,a)·\f(9a,b))


＝10＋2×3＝16，


当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(9a,b)，即b＝3a时等号成立．


又eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，∴eq \f(1,a)＋eq \f(9,3a)＝1，∴a＝4，b＝12．


这两个数的和是16．]


5．如图，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，





设AB＝x．


(1)用x表示DP；


(2)用x表示△ADP的面积；


(3)求△ADP面积的最大值及此时x的值．


[解] (1)∵AB＝x，∴AD＝12－x，


又DP＝PB′，∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，


∴由勾股定理有(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，


∴DP＝12－eq \f(72,x)(6＜x＜12)．


(2)S△ADP＝eq \f(1,2)AD·DP＝eq \f(1,2)(12－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12－\f(72,x)))＝108－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(432,x)))(6＜x＜12)．


(3)∵6＜x＜12，∴6x＋eq \f(432,x)≥2 eq \r(6x·\f(432,x))＝72eq \r(2)，


∴S△ADP＝108－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(432,x)))≤108－72eq \r(2)，


当且仅当6x＝eq \f(432,x)，即x＝6eq \r(2)时取等号．


∴当x＝6eq \r(2)时，△ADP的面积取最大值108－72eq \r(2)．