数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试优秀单元测试练习

这是一份数学八年级上册第一章 勾股定理综合与测试优秀单元测试练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．下列各组数，能构成直角三角形的是( )


A．4，5，6 B．12，16，20 C．5，10，13 D．8，39，40


2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2.5cm，AC=1.5cm，则AB的长为( )





A．3.5cm B．2cm C．3cm D．4cm


3．如图，有一块边长为24米的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是( )





A．3米 B．4米 C．5米 D．6米


4．在△ABC中，AB=12，BC=16，AC=20，则△ABC的面积为( )


A．96 B．120 C．160 D．200


5．如图，等腰三角形底边BC的长为10cm，腰长AB为13cm，则腰上的高为( )





A．12cm B.eq \f(60,13)cm C.eq \f(120,13)cm D.eq \f(13,5)cm


6．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，……，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( )





A．2 B．4 C．8 D．16


二、填空题


7．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，则AB=________．


8．如图，一架长为4m的梯子，一端放在离墙脚2.4m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚________m.





9．如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADB的度数是________．





10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=__________．





11．如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____________．





12．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为________．


三、解答题


13．如图，∠B=∠OAF=90°，BO=3cm，AB=4cm，AF=12cm，求：


(1)AO，FO的长；


(2)图中半圆的面积．











14．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距多远？




















15．已知一个直角三角形的周长是12cm，两直角边长的和为7cm，则此三角形的面积是多少？























16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=16cm，正方形BCEF的面积为144cm2，BD⊥AC于点D，求BD的长．
































17．由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中：


(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；


(2)在图②中画出一个面积为10的正方形．














四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)


18．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B.已知AD=15km，BC=10km，现要在铁路AB旁建一个货运站E(A，E，B在同一条直线上)，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多少千米处？









































19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=90°，连接AC.


(1)△ACD是直角三角形吗？为什么？


(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？























20．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．


(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；


(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．


























21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts.


(1)求BC边的长；


(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．


























22．图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的正方形内．





(1)图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形；


(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；


(3)图乙中①②面积之和为__________；


(4)图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？























23．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图①，则有a2＋b2=c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2＋b2＞c2，理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x.在Rt△ADC中，AD2=b2－x2，在Rt△ADB中，AD2=c2－(a－x)2，∴a2＋b2=c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＞c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.所以小明的猜想是正确的．


(1)请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系(温馨提示：在图③中，作BC边上的高)；


(2)证明你猜想的结论是否正确．






























































参考答案


1．B


2.B


3.D


4.A


5.C


6．B 解析：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16……第n个正方形的面积是eq \f(64,2n－1)，∴正方形⑤的面积是eq \f(64,24)=4.故选B.


7．15 8.3.2 9.90° 10.4 11.3cm≤h≤4cm


12．32或42 解析：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，∴AD2=AC2－CD2，即AD=9，BD2=BC2－CD2，即BD=5.如图①，CD在△ABC内部时，AB=AD＋BD=9＋5=14，此时，△ABC的周长为14＋13＋15=42；如图②，CD在△ABC外部时，AB=AD－BD=9－5=4，此时，△ABC的周长为4＋13＋15=32.综上所述，△ABC的周长为32或42.





13．解：(1)∵在Rt△ABO中，∠B=90°，BO=3cm，AB=4cm，∴AO2=BO2＋AB2=25，∴AO=5cm.(1分)在Rt△AFO中，由勾股定理得FO2=AO2＋AF2=132，∴FO=13cm.(3分)


(2)图中半圆的面积为eq \f(1,2)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(FO,2)))eq \s\up12(2)=eq \f(1,2)π×eq \f(169,4)=eq \f(169π,8)(cm2)．(6分)





14．解：作出图形，因为东北和东南方向的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．(2分)在Rt△ABC中，AC=16×0.5=8(km)，BC=30×0.5=15(km)，则AB2=AC2＋BC2=172，解得AB=17km.(5分)


答：它们离开港口半小时后相距17km.(6分)


15．解：设两条直角边长分别为acm，bcm，斜边长为ccm.由题意可知a＋b＋c=12①，a＋b=7②，a2＋b2=c2③，(2分)∴c=12－(a＋b)=5，(a＋b)2=a2＋b2＋2ab=49，2ab=49－25=24，∴ab=12，(4分)∴S=eq \f(1,2)ab=eq \f(1,2)×12=6(cm2)．(6分)


16．解：∵正方形BCEF的面积为144cm2，∴BC=12cm.∵∠ABC=90°，AB=16cm，∴AC=20cm.(3分)∵BD⊥AC，∴S△ABC=eq \f(1,2)AB·BC=eq \f(1,2)BD·AC，∴BD=eq \f(48,5)cm.(6分)


17．解：(1)如图①，连接AC，由勾股定理，得AB2=32＋22=13，BC2=42＋62=52，AC2=12＋82=65，∴AB2＋BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，∴AB⊥BC.(3分)





(2)∵面积为10的正方形可以表示为32＋12=10，∴四边形ABCD即为所求，如图②所示．(6分)


18．解：设AE=xkm，则BE=(25－x)km.(2分)根据题意列方程，得152＋x2=(25－x)2＋102，解得x=10.(7分)故E站应建立在离A地10km处．(8分)


19．解：(1)在Rt△ABC中，∵AB=3m，BC=4m，∠B=90°，AB2＋CB2=AC2，∴AC=5m.(2分)在△ACD中，AC=5m，CD=12m，DA=13m，∴AC2＋CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.(4分)


(2)∵S△ABC=eq \f(1,2)×3×4=6(m2)，S△ACD=eq \f(1,2)×5×12=30(m2)，∴S四边形ABCD=6＋30=36(m2)，(6分)费用为36×100=3600(元)．故铺满这块空地共需花费3600元．(8分)


20．解：(1)如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC于点Q，连接AQ，蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短．(5分)





(2)∵在Rt△A′EG中，A′E=2AB－AE=80cm，EG=60cm，∴由勾股定理得A′G=100cm，(7分)∴最短路线长为AQ＋QG=A′Q＋QG=100cm.(8分)


21．解：(1)∵在Rt△ABC中，BC2=AB2－AC2=102－62=64，∴BC=8cm.(2分)


(2)由题意知BP=2tcm，分两种情况进行讨论：①当∠APB为直角时，点P与点C重合，如图①，BP=BC=8cm，即t=4；(4分)②当∠BAP为直角时，如图②，BP=2tcm，CP=(2t－8)cm，AC=6cm.在Rt△ACP中，AP2=62＋(2t－8)2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2=BP2，(6分)∴102＋[62＋(2t－8)2]=(2t)2，解得t=eq \f(25,4).故当△ABP为直角三角形时，t=4或eq \f(25,4).(9分)





22．解：(1)a b c c(2分)


(2)a2 b2 c2(4分)


(3)a2＋b2(5分)


(4)由图乙和图丙可知大正方形的边长为a＋b，则面积为(a＋b)2，图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a、宽为b的长方形，(7分)根据面积相等得(a＋b)2=a2＋b2＋2ab，由图丙可得(a＋b)2=c2＋4×eq \f(1,2)ab.所以a2＋b2=c2.(9分)


23．(1)解：当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为a2＋b2＜c2.(3分)


(2)证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.(5分)设CD=x.在Rt△ADC中，AD2=b2－x2，在Rt△ADB中，AD2=c2－(a＋x)2，∴a2＋b2=c2－2ax.(8分)∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＜c2，∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.(12分)