2019-2020学年广西贵港市覃塘区七年级（下）期末数学试卷

2019-2020学年广西贵港市覃塘区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．xy＝5 B．8x﹣2x＝1 C．3x+2y＝5 D．y+＝2
2．（3分）要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
3．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．a3•（﹣2a）2＝4a5 D．（a2）3＝a5
4．（3分）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 B．2x2+4xy＝2x（x+2y）
C．x2+2x+3＝x（x+2）+3 D．（m﹣2）2 ＝m2﹣4m+4
5．（3分）若x2﹣x﹣m＝（x+n）（x+7），则m﹣n＝（　　）
A．﹣64 B．﹣48 C．48 D．64
6．（3分）已知多项式x2﹣mx+是完全平方式，则m的值为（　　）
A． B． C．1 D．±1
7．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．同一平面内不相交的两条直线互相平行
B．经过一点能作一条直线与已知直线平行
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直
8．（3分）已知是方程组的解，则a，b间的关系是（　　）
A．a+b＝3 B．a﹣b＝﹣1 C．a+b＝0 D．a﹣b＝﹣3
9．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OE平分∠AOC，若∠BOD＝68°，则∠BOE等于（　　）

A．34° B．112° C．146° D．148°
10．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离是（　　）

A．2 B．1.4 C．3 D．2.4
11．（3分）如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将△ABC绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为（　　）

A．20° B．50° C．80° D．110°
12．（3分）如图，有下列说法：
①若AD∥BC，∠1＝∠3，则BD是∠ABC的平分线；
②若AD∥BC，则∠1＝∠4；
③若∠A＝∠C，则AB∥CD；
④若∠C+∠3+∠4＝180°，则AD∥BC．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若2•8n•16n＝222，则n＝　 　．
14．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为　 　．
15．（3分）一组数据2，3，x，y，12中，唯一的众数是12，平均数是6，这组数据的中位数是　 　．
16．（3分）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图方式摆放，若∠1＝52°，则∠2＝　 　°．

17．（3分）如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为　 　．

18．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为D，AD＝4，将△ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到△A'B'C，连接A'C，若BC'＝10，B'C＝3，则△A'CC'的面积为　 　．

三、解答题：（本大题共9小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）因式分解：
（1）﹣3ax2+3ay2；
（2）（x+2）（x﹣8）+25．
20．（6分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC沿水平方向向左平移4个单位后，再向下平移5个单位，最后得到的△A2B2C2；
（3）画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，所得到的图形，△A3B3C3．

21．（4分）解方程组：
（1）；
（2）．
22．（4分）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x+1）﹣（x﹣1）2，其中x2﹣x＝10．
23．若x+y＝3，xy＝2，求x2﹣xy+y2的值．
24．（9分）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．
（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；
（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；
②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．

25．（8分）一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到9分为优秀，这次测验甲、乙两组学生人数相同，成绩分别被绘制成如图两个统计图：

根据统计图中信息，整理分析数据如下：
组别
平均成绩/分
中位数/分
众数/分
方差
优秀率
甲
7
7
7
a
20%
乙
b
c
8
1.36
10%
（1）求出表格中a，b，c的值；
（2）你认为哪组的成绩较好？从以上信息中写出两条支持你的选择．
26．（12分）如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）请说明DE∥BC的理由；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．

27．（15分）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．

2019-2020学年广西贵港市覃塘区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．xy＝5 B．8x﹣2x＝1 C．3x+2y＝5 D．y+＝2
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、是二元一次方程，故本选项符合题意；
D、是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差．
【解答】解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好．
故选：D．
3．（3分）下列运算结果正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a﹣2）2＝a2﹣4
C．a3•（﹣2a）2＝4a5 D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，单项式乘以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、2a和3b不能合并，故本选项不符合题意；
B、结果是a2﹣4a+4，故本选项不符合题意；
C、结果是4a5，故本选项符合题意；
D、结果是a6，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2 B．2x2+4xy＝2x（x+2y）
C．x2+2x+3＝x（x+2）+3 D．（m﹣2）2 ＝m2﹣4m+4
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、是整式的乘法，故D错误；
故选：B．
5．（3分）若x2﹣x﹣m＝（x+n）（x+7），则m﹣n＝（　　）
A．﹣64 B．﹣48 C．48 D．64
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2﹣x﹣m＝（x+n）（x+7）＝x2+（n+7）x+7n，
∴n+7＝﹣1，7n＝﹣m，
解得：m＝56，n＝﹣8，
则原式＝m﹣n＝56+8＝64，
故选：D．
6．（3分）已知多项式x2﹣mx+是完全平方式，则m的值为（　　）
A． B． C．1 D．±1
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+＝x2﹣mx+（）2，
∴﹣mx＝±2x•，
∴m＝±1．
故选：D．
7．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．同一平面内不相交的两条直线互相平行
B．经过一点能作一条直线与已知直线平行
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直
【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论即可判断．
【解答】解：A．同一平面内不相交的两条直线互相平行，
所以A选项正确，不符合题意；
B．经过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，
所以B选项错误，符合题意；
C．平行于同一条直线的两条直线平行，
所以C选项正确，不符合题意；
D．同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直，
所以D选项正确，不符合题意．
故选：B．
8．（3分）已知是方程组的解，则a，b间的关系是（　　）
A．a+b＝3 B．a﹣b＝﹣1 C．a+b＝0 D．a﹣b＝﹣3
【分析】将方程组的解代入方程组得到关于a、b、c方程组，然后消掉c即可得解．
【解答】解：将代入方程组得，，
①+②得，a+b＝3．
故选：A．
9．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OE平分∠AOC，若∠BOD＝68°，则∠BOE等于（　　）

A．34° B．112° C．146° D．148°
【分析】根据根据对顶角相等，∠AOC＝∠BOD＝68°，利用角平分线的性质求出∠EOC，再根据邻补角求出∠BOC，利用角的和，即可解答．
【解答】解：根据对顶角相等，得：∠AOC＝∠BOD＝68°，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝，
∠BOC＝180°﹣∠BOD＝112°，
∴∠BOE＝∠BOC+∠EOC＝112°+34°＝146°，
故选：C．
10．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离是（　　）

A．2 B．1.4 C．3 D．2.4
【分析】根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可．
【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴点A到BC的距离＝＝，
∵DE∥BC，
∴DE与BC的距离是﹣1＝＝1.4．
故选：B．
11．（3分）如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将△ABC绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为（　　）

A．20° B．50° C．80° D．110°
【分析】先利用旋转的性质得到∠ACA′＝50°，然后利用平行线的性质得到∠1的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转50°，
∴∠ACA′＝50°，
∴∠A′CB＝80°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠A′CB＝80°．
故选：C．
12．（3分）如图，有下列说法：
①若AD∥BC，∠1＝∠3，则BD是∠ABC的平分线；
②若AD∥BC，则∠1＝∠4；
③若∠A＝∠C，则AB∥CD；
④若∠C+∠3+∠4＝180°，则AD∥BC．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的性质求出∠2＝∠3，求出∠1＝∠2，即可判断①；根据平行线的性质即可判断②，根据平行线的判定即可判断③④．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴BD是∠ABC的平分线，∴①正确；
根据AD∥BC不能推出∠1＝∠4，∴②错误；
根据∠A＝∠C不能推出AB∥CD，∴③错误；
∵∠C+∠3+∠4＝180°，
∴AD∥BC，∴④正确；
即正确的个数是2个，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若2•8n•16n＝222，则n＝　3　．
【分析】根据幂的乘法法则计算，再根据指数相等列式求解即可．
【解答】解：∵2×8n×16n＝2×23n×24n＝21+7n＝222；
∴1+7n＝22，
解得n＝3．
故填3．
14．（3分）已知a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为　20　．
【分析】原式乘法公式计算得到最简结果，把a+b＝4，a﹣b＝1代入计算即可求出值．
【解答】解：（a+2）2﹣（b﹣2）2＝a2+4a+4﹣b2+4b﹣4＝（a+b）（a﹣b）+4（a+b）＝（a+b）（a﹣b+4），
∵a+b＝4，a﹣b＝1，
∴原式＝4×5＝20，
故答案为：20．
15．（3分）一组数据2，3，x，y，12中，唯一的众数是12，平均数是6，这组数据的中位数是　3　．
【分析】先根据数据2，3，x，y，12的平均数是6，求出x+y＝13，再根据数据2，3，x，y，12中，唯一的众数是12，求出x，y的值，最后把这组数据从小到大排列，即可得出答案．
【解答】解：∵数据2，3，x，y，12的平均数是6，
∴（2+3+x+y+12）＝6，
解得：x+y＝13，
∵数据2，3，x，y，12中，唯一的众数是12，
∴x＝12，y＝1或x＝1，y＝12，
把这组数据从小到大排列为：1，2，3，12，12，
则这组数据的中位数是3；
故答案为：3．
16．（3分）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图方式摆放，若∠1＝52°，则∠2＝　38　°．

【分析】直接利用平行线的性质得出∠2＝∠3，∠4＝∠1，进而得出∠1+∠2＝90°，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AB∥直线a，
则AB∥直线a∥b，
故∠2＝∠3，∠4＝∠1，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝52°，
∴∠2＝38°．
故答案为：38．

17．（3分）如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB＝9，BC＝6，则△DNB的周长为　12　．

【分析】由D为BC中点知BD＝3，再由折叠性质得ND＝NA，从而根据△DNB的周长＝ND+NB+BD＝NA+NB+BD＝AB+BD可得答案．
【解答】解：∵D为BC的中点，且BC＝6，
∴BD＝BC＝3，
由折叠性质知NA＝ND，
则△DNB的周长＝ND+NB+BD＝NA+NB+BD＝AB+BD＝3+9＝12，
故答案为：12．
18．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为D，AD＝4，将△ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到△A'B'C，连接A'C，若BC'＝10，B'C＝3，则△A'CC'的面积为　7　．

【分析】根据平移的性质可得BC＝B′C′，则BB′＝CC′，依此根据线段的和差关系可得CC'的长，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质可得BC＝B′C′，则BB′＝CC′，
∵BC'＝10，B'C＝3，
∴CC'＝（10﹣3）÷2＝3.5，
∴△A'CC'的面积为3.5×4÷2＝7．
故答案为：7．
三、解答题：（本大题共9小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）因式分解：
（1）﹣3ax2+3ay2；
（2）（x+2）（x﹣8）+25．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）﹣3ax2+3ay2
＝﹣3a（x2﹣y2）
＝﹣3a（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝x2﹣6x﹣16+25
＝（x﹣3）2．
20．（6分）如图，△ABC的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC沿水平方向向左平移4个单位后，再向下平移5个单位，最后得到的△A2B2C2；
（3）画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，所得到的图形，△A3B3C3．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）将△ABC的三个顶点先向左平移4个单位后，再向下平移5个单位，得到平移后的对应点A2，B2，C2的位置，然后顺次连接即可得出平移后的△A2B2C2；
（2）根据题意所述的旋转角度、旋转中心及旋转方向依次找到各点旋转后的对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的△A3B3C3．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的图形；
（3）如图所示，△A3B3C3即为所求作的图形；

21．（4分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）把②代入①得：3x+2（x+2）＝6，
解得：x＝，
把x＝代入②得：y＝2，
所以方程组的解为；
（2）方程组变形得：，
由②×2+①，得：11x＝22，
解得：x＝2，
将x＝2代入②，得：8﹣y＝5，
解得：y＝3，
所以方程组的解为．
22．（4分）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x+1）﹣（x﹣1）2，其中x2﹣x＝10．
【分析】将代数式化简为3x2﹣3x﹣5，再将x2﹣x＝10整体代入即可；
【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x+1）﹣（x﹣1）2
＝9x2﹣4﹣5x2﹣5x﹣x2+2x﹣1
＝3x2﹣3x﹣5；
当x2﹣x＝10时，
原式＝3×10﹣5＝25；
23．若x+y＝3，xy＝2，求x2﹣xy+y2的值．
【分析】把x+y＝3两边平方，利用完全平方公式化简，将xy＝2代入计算求出x2+y2的值，即可求出所求．
【解答】解：把x+y＝3两边平方得：（x+y）2＝9，即x2+2xy+y2＝9，
将xy＝2代入得：x2+4+y2＝9，即x2+y2＝5，
则原式＝5﹣2＝3．
24．（9分）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．
（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；
（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；
②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．

【分析】（1）依据OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根据OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依据对顶角相等得到∠AOC＝72°；
（2）依据OE平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根据OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依据等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，
∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，
∴∠AOC＝72°；

（2）①如图所示：

②∠AOG＝∠EOF；
理由：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵OF⊥CD，OG⊥OE，
∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，
∴∠EOF＝∠AOG．
25．（8分）一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到9分为优秀，这次测验甲、乙两组学生人数相同，成绩分别被绘制成如图两个统计图：

根据统计图中信息，整理分析数据如下：
组别
平均成绩/分
中位数/分
众数/分
方差
优秀率
甲
7
7
7
a
20%
乙
b
c
8
1.36
10%
（1）求出表格中a，b，c的值；
（2）你认为哪组的成绩较好？从以上信息中写出两条支持你的选择．
【分析】（1）根据方差公式、平均数的计算公式以及中位数的定义分别进行解答，即可得出a，b，c的值；
（2）从众数和中位数两方面进行分析，即可得出乙组好．
【解答】解：（1）甲组成绩的方差：
a＝×[2×（5﹣7）2+（6﹣7）2+4×（7﹣7）2+（8﹣7）2+2×（9﹣7）2]＝1.8；
乙组的平均成绩：
b＝＝7.2（分），
∵乙组的成绩从小到大排列为5、6、6、7、7、8、8、8、8、9，
∴乙组成绩的中位数：c＝＝7.5（分）；

（2）乙组好，因为乙组的众数高于甲组；乙组的中位数高于甲组．
26．（12分）如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）请说明DE∥BC的理由；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等可证明AB∥EG，再根据平行线的性质得角相等，再等量代换可得∠3＝∠EGC，进而可得DE∥BC；
（2）根据已知条件可得∠B＝45°，可以证明CD⊥AB，再由AB∥EG，即可得CD⊥EG．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠DFG，
∴∠1+∠DFG＝180°，
∴AB∥EG，
∴∠B＝∠EGC，
又∵∠B＝∠3，
∴∠3＝∠EGC，
∴DE∥BC；

（2）CD⊥EG．
理由如下：
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝∠EDC，
又∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴2∠B+∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠2＝2∠B＝90°，
∴CD⊥AB
又∵AB∥EG，
∴CD⊥EG．

27．（15分）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
【分析】（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合某物流公司现有31吨货物，即可得出3a+4b＝31，即b＝，由a、b均为正数即可得出各租车方案．
【解答】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．

（2）由题意可得：3a+4b＝31，
∴b＝．
∵a，b均为整数，
∴有、和三种情况．
故共有三种租车方案，分别为：
①A型车1辆，B型车7辆；
②A型车5辆，B型车4辆；
③A型车9辆，B型车1辆．