高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用练习，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1．若a＞1，则a＋eq \f(1,a－1)的最小值是( )


A．2 B．a C.eq \f(2\r(a),a－1) D．3


D [∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋eq \f(1,a－1)＝a－1＋eq \f(1,a－1)＋1≥2eq \r( a－1·\f(1,a－1))＋1＝3.]


2．已知x＜0，则y＝x＋eq \f(1,x)－2有( )


A．最大值为0 B．最小值为0


C．最大值为－4 D．最小值为－4


C [∵x<0，∴y＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时取等号．]


3．设x＞0，则y＝3－3x－eq \f(1,x)的最大值是( )


A．3 B．－3eq \r(2)


C．3－2eq \r(3) D．－1


C [∵x＞0，∴y＝3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq \r(3x·\f(1,x))＝3－2eq \r(3).当且仅当3x＝eq \f(1,x)，且x＞0，即x＝eq \f(\r(3),3)时，等号成立．]


4．若x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1，则x＋y的最小值是( )


A．3 B．6 C．9 D．12


C [x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)＋4


＝5＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥5＋2eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝5＋4＝9.


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)＝1，,\f(y,x)＝\f(4x,y)，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝6))时等号成立，故x＋y的最小值为9.]


5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )


A．16 B．25 C．9 D．36


B [(1＋x)(1＋y)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋x＋1＋y,2)))2


＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2＋x＋y,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋8,2)))2＝25，


当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，


(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]


二、填空题


6．函数y＝x＋eq \f(1,x＋1)(x≥0)的最小值为________．


[答案] 1


7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.





56 [设阴影部分的高为x dm，则宽为eq \f(72,x) dm，四周空白部分的面积是y dm2.


由题意，得y＝(x＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(72,x)＋2))－72


＝8＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(144,x)))≥8＋2×2eq \r(x·\f(144,x))＝56(dm2)．


当且仅当x＝eq \f(144,x)，


即x＝12 dm时等号成立．]


8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．


[6，＋∞) [∵a＋b＋3＝ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，


∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．]


三、解答题


9．当x

[解] y＝eq \f(1,2)(2x－3)＋eq \f(8,2x－3)＋eq \f(3,2)


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq \f(3,2)，


∵当x0，


∴eq \f(3－2x,2)＋eq \f(8,3－2x)≥2eq \r(\f(3－2x,2) ·\f(8,3－2x))＝4，当且仅当eq \f(3－2x,2)＝eq \f(8,3－2x)，即x＝－eq \f(1,2)时取等号．于是y≤－4＋eq \f(3,2)＝－eq \f(5,2)，故函数有最大值－eq \f(5,2).


10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋eq \f(784,x＋3)－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)


[解] 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得


y＝2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(784,x＋3)－118))＝118－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(784,x＋3)))


＝118－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4x＋3＋\f(784,x＋3)－12))


＝130－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4x＋3＋\f(784,x＋3)))


≤130－2eq \r(4x＋3·\f(784,x＋3))＝130－112＝18(千元)，


当且仅当4(x＋3)＝eq \f(784,x＋3)，即x＝11时取等号．


所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．


[等级过关练]


1．若－4

A．有最小值1 B．有最大值1


C．有最小值－1 D．有最大值－1


D [y＝eq \f(x2－2x＋2,2x－2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(1,x－1)))，


又∵－40.


故y＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x－1＋\f(1,－x－1)))≤－1.


当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝0时等号成立．]


2．已知x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是( )


A．m≤－2eq \r(2)或m≥2eq \r(2) B．m≤－4或m≥2


C．－2＜m＜4 D．－2eq \r(2)＜m＜2eq \r(2)


D [∵x>0，y>0且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，


∴x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)


≥4＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，


即x＝4，y＝2时取等号，


∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，


只需(x＋2y)min>m2恒成立，


即8>m2，解得－2eq \r(2)

3．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．


eq \f(1,16) [1＝x＋4y≥2eq \r(4xy)＝4eq \r(xy)，


∴xy≤eq \f(1,16)，当且仅当x＝4y＝eq \f(1,2)时等号成立．]


4．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．


eq \f(2\r(3),3) [x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＋1.∴eq \f(3,4)(x＋y)2≤1.


∴－eq \f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq \f(2\r(3),3)，当且仅当x＝y＝eq \f(\r(3),3)时等号成立．]


5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝eq \f(1,□)＋eq \f(9,□)，试求这两个数．


[解] 设eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，a，b∈N*，


∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b)))


＝1＋9＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)


≥10＋2eq \r(\f(b,a)·\f(9a,b))


＝10＋2×3＝16，


当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(9a,b)，即b＝3a时等号成立．


又eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，∴eq \f(1,a)＋eq \f(9,3a)＝1，∴a＝4，b＝12.


这两个数分别是4,12.