数学必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第2课时课后复习题

课后素养落实(二十四)　奇偶性的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上是(　　)

A．增函数且有最大值－5

B．增函数且有最小值－5

C．减函数且有最大值－5

D．减函数且有最小值－5

A　[因为f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上为增函数，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选A．]

2．(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)．则下列各式中一定成立的是(　　)

A．f(－3)>f(－1)　　　 B．f(0)<f(5)

C．f(－1)<f(3) D．f(2)>f(0)

AC　[因为f(x)为偶函数，

所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，

又f(3)>f(1)，

所以f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．]

3．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝－x2＋2x－3 B．f(x)＝－x2－2x－3

C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3

B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B．]

4．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，0] B．[0，＋∞)

C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)

A　[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．故选A．]

5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

A　[由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒<x<，故选A．]

二、填空题

6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.

＋1　[∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1，

∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝＋1，

即x＜0时，f(x)＝＋1．]

7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 021，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．

2 021　[由于偶函数的图像关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．

又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 021，

故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 021．]

8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)按从小到大的排列是________．

f(－2)<f(1)<f(0)　[当m＝1时，f(x)＝6x＋2不合题意；当m≠1时，由题意可知，其图像关于y轴对称，

∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，

∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．

又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．]

三、解答题

9．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．

[解]　F(x)在(－∞，0)上是减函数．

证明如下：

任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0.

因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0. ①

又因为f(x)是奇函数，

所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)， ②

由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)－F(x2)＝>0，即F(x1)>F(x2)，

所以F(x)＝在(－∞，0)上是减函数．

10．已知函数f(x)＝x2＋2ax－1．

(1)若f(1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；

(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；

(3)若f(x)在(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．

[解]　(1)由题意可知，f(1)＝1＋2a－1＝2，即a＝1，

此时函数f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，

故当x＝－1时，函数f(x)min＝－2.

(2)若f(x)为偶函数，则对任意x∈R，

f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax－1，化简得，4ax＝0，故a＝0.

(3)函数f(x)＝x2＋2ax－1的单调递减区间是(－∞，－a]，而f(x)在(－∞，4]上单调递减，

所以4≤－a，即a≤－4，

故实数a的取值范围为(－∞，－4]．

1．(多选题)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论不成立的是(　　)

A．|f(x)|－g(x)是奇函数

B．|f(x)|＋g(x)是偶函数

C．f(x)－|g(x)|是奇函数

D．f(x)＋|g(x)|是偶函数

ABC　[根据题意有f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，所以f(x)＋|g(x)|是偶函数．同理，易知选项A，B中的函数既不是奇函数也不是偶函数，选项C中的函数是偶函数．故选ABC．]

2．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)

A．最大值－ B．最大值

C．最小值－ D．最小值

B　[法一(奇函数的图像特征)：当x<0时，

f(x)＝x2＋x＝－，

所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，

所以当x>0时，f(x)有最大值.

法二(直接法)：当x>0时，－x<0，

所以f(－x)＝－x(1－x)．

又f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋，

所以f(x)有最大值.故选B．]

3．如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.

2x＋3　[当x<0时，－x>0，F(－x)＝－2x－3，

又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)，

∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.]

4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．

{x|－3<x<0或x>3}　[∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，

∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3；

当x<0时，f(x)>0，解得－3<x<0.]

设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.

(1)求b的值；

(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

[解]　(1)因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，

所以f(0)＝0，解得b＝0.

(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是单调递增的，

因为f(m)＋f(m－1)>0，

所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，

所以m－1>－m，  ①

又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域范围内有意义．

所以  ②

解①②得<m≤2，所以m的取值范围为.