人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用获奖ppt课件

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1.了解算术平均值与几何平均值的概念，了解均值不等式的探索及证明过程.2.掌握均值不等式及变形，会用均值不等式证明简单的不等式.3.能够运用均值不等式求函数或代数式的最值，会利用最值的方法解决不等式的恒成立问题.4.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.核心素养：数学运算、逻辑推理.
知识点一、均值不等式
名师点析1.重要不等式对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.2.不等式a2+b2≥2ab的变形
这两个变形体现了两数积、两数平方和、两数和的平方三者之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.
3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的异同
4.均值不等式的变形
第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定值时,另一端就可以取最值.
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(　　)A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2.答案:A
知识点二、重要结论已知x,y都为正数,则
名师点析利用均值不等式求最值注意事项在应用均值不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可.
二定:积或和为定值.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.为了利用均值不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为　　　　. 
1.对均值不等式的理解例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　)A.a2+b2>2ab
C.a=1 D.a=2分析利用均值不等式时需注意使用条件.
答案:(1)D　(2)C
反思感悟 在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.一正,a,b均为正数;二定,不等式一边为定值;三相等,不等式中的等号能取到,即a=b有解.
2.直接利用均值不等式求最值例2 (1)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为(　　) A.80 B.77 C.81 D.82
分析根据已知条件,直接利用均值不等式求最值.
答案:(1)C　(2)8
反思感悟利用均值不等式求最值时要注意:(1)x,y一定要都是正数.(2)求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值.(3)等号是否能够成立.
3.间接利用均值不等式求最值
分析(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值.(2)(3)先对式子变形,凑定值后再利用均值不等式求最值.
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
A.最大值8B.最小值8C.最大值4D.最小值4答案:B
A.最小值12B.最大值12C.最小值144D.最大值144
3.已知点P(x,y)在直线x+3y-2=0上,则代数式3x+27y的最小值是　　　　　,此时x=　　　　,y=　　　　.