数学必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法当堂达标检测题

这是一份数学必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法当堂达标检测题，共4页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1．已知函数f(x)＝eq \f(3,x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝( )


A.eq \f(1,a) B.eq \f(3,a)


C．a D．3a


D [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝3a，故选D.]


2．下列表示y关于x的函数的是( )


A．y＝x2 B．y2＝x


C．|y|＝x D．|y|＝|x|


A [结合函数的定义可知A正确，选A.]


3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )


A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}


C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}


A [当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．]


4．函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域是( )


A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)


C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)


D [由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,x－1≠0，))所以x≥－1且x≠1，


故函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．故选D.]


5．下列四组函数中表示同一函数的是( )


A．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2


B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2


C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝|x|


D．f(x)＝0，g(x)＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)


C [∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝(eq \r(x))2(x≥0)两个函数的定义域不一致，∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝eq \r(x2)＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝eq \r(x－1)＋eq \r(1－x)＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.]


二、填空题


6．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，则f(2)＋f(－2)的值是________．


0 [f(2)＋f(－2)＝2＋eq \f(1,2)－2－eq \f(1,2)＝0.]


7．已知函数f(x)＝eq \f(1,1＋x)，又知f(t)＝6，则t＝________.


－eq \f(5,6) [由f(t)＝6，得eq \f(1,1＋t)＝6，即t＝－eq \f(5,6).]


8．函数y＝eq \f(8,x2－4x＋5)的值域是________．


(0,8] [通过配方可得函数y＝eq \f(8,x2－4x＋5)＝eq \f(8,x－22＋1)，


∵(x－2)2＋1≥1，∴0＜eq \f(8,x－22＋1)≤8，故0＜y≤8.


故函数y＝eq \f(8,x2－4x＋5)的值域为(0,8]．]


三、解答题


9．已知函数f(x)＝eq \f(6,x－1)－eq \r(x＋4).


(1)求函数f(x)的定义域；


(2)求f(－1)，f(12)的值．


[解] (1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，


即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．


(2)f(－1)＝eq \f(6,－2)－eq \r(－1＋4)＝－3－eq \r(3)，


f(12)＝eq \f(6,12－1)－eq \r(12＋4)＝eq \f(6,11)－4＝－eq \f(38,11).


10．已知集合A是函数f(x)＝eq \f(\r(1－x2)＋\r(x2－1),x)的定义域，集合B是其值域，求A∪B的子集的个数．


[解] 要使函数f(x)的解析式有意义，则需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,x2－1≥0，,x≠0，))解得x＝1或x＝－1，所以函数f(x)的定义域A＝{－1,1}．


又f(1)＝f(－1)＝0，所以函数的值域B＝{0}，所以A∪B＝{1，－1,0}，故其子集的个数为23＝8.


[等级过关练]


1．若集合M＝{x|－4≤x≤4}，N＝{y|－2≤y≤2}，下列式子不表示定义在集合M到集合N上的函数的是( )


A．y＝eq \f(1,2)x B．y＝eq \f(1,2)(x－1)


C．y＝eq \f(1,4)x2－2 D．y＝eq \f(1,8)x2


B [当x＝－4时，eq \f(1,2)×(－4－1)＝－eq \f(5,2)∉N，故选项B中函数不是定义在集合M到集合N上的函数．]


2．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )


A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2


C．f(x)＝eq \f(1,x) D．y＝|x|


A [对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立；


对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立；


对于C选项，f(x＋1)＝eq \f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(1,x)＋1，不成立；


对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．]


3．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域是________．


(0,2) [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<\f(x,2)<1，,－1

解得0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．]


4．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．





则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．


1 2 [∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.


当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，


f(g(x))

当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，


f(g(x))>g(f(x))，符合题意；


当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，


f(g(x))

5．已知函数f(x)对任意实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．


(1)求f(0)，f(1)的值；


(2)求证feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)．


[解] (1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；


令a＝1，b＝0，得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.


(2)因为eq \f(1,x)·x＝1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)·x))＝f(1)＝0，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)．


x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1