2020届二轮复习二项展开式求展开式中的指定项教案（全国通用）



求展开式中的指定项











知识内容


1．二项式定理
⑴二项式定理

这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数．
②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
⑷几点注意
①通项是的展开式的第项，这里．
②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设，则得公式：．
⑥通项是中含有五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．

2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”
⑵二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：

这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是
，
，．．．，
，，．．．，
．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．
当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．
③二项式系数的和为，即．
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．

典例分析


【例1】 的展开式中的第四项是 ．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2018年四川高考
【解析】，∴，
的展开式中的第四项是：
【答案】

【例2】 的展开式中，的系数等于_ ___．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2018，安徽高考
【解析】略；
【答案】15；

【例3】 的展开式中的系数是
A． B． C．2 D．4
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，全国高考
【解析】中的系数为．
【答案】C；

【例4】 若的展开式中的系数是，则 ．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2018，全国高考
【解析】略
【答案】1；

【例5】 展开式中的系数为10，则实数等于
A． B． C．1 D．2
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018，陕西高考
【解析】略
【答案】D；


【例6】 若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年丰台一模
【解析】，四个选项中只有满足．
【答案】A；


【例7】 的展开式中项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，东城一模
【解析】所求系数为．
【答案】A；

【例8】 若，则的值为（ ）
A．270 B．270 C． 90 D．90
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年，宣武2模
【解析】此题考察二项式定理．容易知道．
【答案】C


【例9】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，全国高考
【解析】原多项式可化为，所以要求的的系数分两部分：
的常数项与的项系数的积；的项系数与的常数项的积．因此所求的的系数是．
【答案】-3；


【例10】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】将多项市看作，通项公式为，
要求的系数，只能，不难算出的系数为．
本题也可以直接用排列组合的观点来解．5个相乘，要得到项，只能是有一个
取（有种）与剩下的4个的常数项相乘才行，因此为．
【答案】320；


【例11】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】将多项市看作，通项公式为，
只能取0或1，不难算出的系数为
．
本题也可以直接用排列组合的观点来解． 5个相乘，要得到项，只有两种情况：
①1个取，其余4个取常数项，此时的系数为；
②两个取，其余3个取常数项，此时的系数为
因此的系数为1360．
【答案】1360；


【例12】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用排列组合的观点求． 5个相乘，要得到项，
只能是从1个取，1个取，其余3个取常数项相乘得到，因此系数为．
【答案】640


【例13】 求展开式中含项系数．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】用排列组合的观点求．13个式子相乘，项为：
．故所求系数为．
【答案】-123


【例14】 在的展开式中，项的系数是　　　　．（用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2018年，湖南高考
【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加，然后用组合数的性质来计算．
如果注意到原多项式可化简为，则只需要求中项的系数即可，不难算出为．
【答案】35；


【例15】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加减，然后用组合数的性质来计算．
如果注意到原多项式可化简为，只需要求中项的系数即可，不难算出为．
【答案】-20；


【例16】 展开式中的系数是_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2003年全国
【解析】通项公式为，当时，．
所以的系数是．
【答案】；

【例17】 在的展开式中的系数是（ ）
A．−14 B．14 C．−28 D．28
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年全国高考
【解析】略
【答案】B；


【例18】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B．85 C． D．274
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，浙江高考
【解析】用排列组合的观点来求，4个因式取，余下1个取常数项，故所求系数为
，选A．
【答案】A；


【例19】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】多项式可化为，含项的系数为．
【答案】-205


【例20】 求展开式中的系数．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，
项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到．
3个因式中取x，一个取，两个取1得到．
1个因式中取x，两个取，三个取1得到．
合并同类项为，项的系数为6．
【答案】6；


【例21】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年全国高考
【解析】原多项式可化为，所以要求的的系数分两部分：
的常数项与的项系数的积；的项系数与的常数项的积．因此所求的的系数是．
【答案】-3；


【例22】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】将多项市看作，通项公式为，
要求的系数，只能，不难算出的系数为．
本题也可以直接用排列组合的观点来解．5个相乘，要得到项，只能是有一个
取（有种）与剩下的4个的常数项相乘才行，因此为．
【答案】320；


【例23】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】将多项市看作，通项公式为，
只能取0或1，不难算出的系数为
．
本题也可以直接用排列组合的观点来解． 5个相乘，要得到项，只有两种情况：
①1个取，其余4个取常数项，此时的系数为；
②两个取，其余3个取常数项，此时的系数为
因此的系数为1360．
【答案】1360；


【例24】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用排列组合的观点求． 5个相乘，要得到项，
只能是从1个取，1个取，其余3个取常数项相乘得到，因此系数为．
【答案】640


【例25】 求展开式中含项系数．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用排列组合的观点求．13个式子相乘，项为：
．
故所求系数为．
【答案】-123


【例26】 在的展开式中，项的系数是　　　　．（用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，湖南高考
【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加，然后用组合数的性质来计算．
如果注意到原多项式可化简为，则只需要求中项的系数即可，不难算出为．
【答案】35；


【例27】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加减，然后用组合数的性质来计算．
如果注意到原多项式可化简为，只需要求中项的系数即可，不难算出为．
【答案】-20；


【例28】 展开式中的系数是_______（用数字作答）．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2003年，全国高考
【解析】通项公式为，当时，．
所以的系数是．
【答案】；


【例29】 在的展开式中的系数是（ ）
A．−14 B．14 C．−28 D．28
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年，全国高考
【解析】略
【答案】B；


【例30】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
（A） （B）85 （C） （D）274
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，浙江高考
【解析】用排列组合的观点来求，4个因式取，余下1个取常数项，故所求系数为
，选A．
【答案】A；


【例31】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】多项式可化为，含项的系数为．
【答案】；


【例32】 求展开式中的系数．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，
项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到．
3个因式中取x，一个取，两个取1得到．
1个因式中取x，两个取，三个取1得到．
合并同类项为，项的系数为6．
【答案】6；

【例33】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年浙江高考
【解析】略
【答案】B；


【例34】 的展开式中的系数是______，的系数为______．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年四川高考
【解析】，的系数为．
；，项的系数是．
【答案】2，-6；


【例35】 的展开中含的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，四川高考
【解析】C；含的项的系数．
【答案】C；


【例36】 的展开式中的系数是（ ）
A． B． C．3 D． 4
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】，的系数是．
B．
【答案】B；


【例37】 求展开式中的系数；
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为：．
【答案】-63；


【例38】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年，浙江高考
【解析】B；
通项公式，令，可得，故项的系数是．
【答案】B；


【例39】 的展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年，重庆高考
【解析】D；
，令，得，故展开式中的系数为．
【答案】D；


【例40】 在的展开式中，的系数为 （用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2009年，湖南高考
【解析】；，令，得的系数为
【答案】6；


【例41】 在的展开式中，的系数为 _____ （用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，湖南高考
【解析】；由条件易知的展开式中
项的系数分别是，即所求系数是．
【答案】7；


【例42】 的二项展开式中含的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】B；


【例43】 若的二项展开式中的系数为则 ．（用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，天津高考
【解析】，当时得到项的系数
【答案】2；


【例44】 设常数，展开式中的系数为，则＝_____．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，安徽高考
【解析】，由得，由知．
【答案】；


【例45】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 ．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，广东高考
【解析】的系数为，得，所以．
【答案】1；


【例46】 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等
．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，广东高考
【解析】的通项为，当时，．
∴的展开式中的系数是，
的通项为，当时，．
∴的展开式中的系数是，
∴，．
【答案】



【例47】 的二项展开式的第项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】B；


【例48】 若的二项展开式中的系数为则．（用数字作答）
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，天津高考
【解析】，当时得到项的系数
【答案】；


【例49】 若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A；的展开式的通项公式为，令，
得，即的项的系数为．
又展开式的通项公式为，由，所以次展开式中含的项的系数为．
于是由题设，，即．
从而，及，故选A．
【答案】A；



【例50】 已知，则二项式 展开式中含项的系数是 ．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】


【例51】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】，即，解得符合题意的．
【答案】


【例52】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则______．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】按二项式定理展开的通项为，
我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．
【答案】1；


【例53】 的展开式中的系数为 ．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，全国高考
【解析】，只需求展开式中的项的系数，
易知为．
【答案】6；


【例54】 若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】由题设，，即．
【答案】8；


【例55】 的展开式中，的系数与的系数之和等于__________．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，全国高考
【解析】略
【答案】-240；


【例56】 已知为实数，展开式中的系数是，则_______．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】，故，解得．
【答案】


【例57】 二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】由题意知，即（负值舍去），
于是第项的系数为．
【答案】165；


【例58】 求的二项展开式中含的项的二项式系数与系数．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设第项含，则有，
根据题意，得，解得．
因此，的系数是，二项式系数为．


【例59】 若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为_______．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】或（舍弃），通项，
由，的系数是．
【答案】7；


【例60】 令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】，，于是可得和为．
【答案】；


【例61】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】，于是有，化简得：，
又，故有，解得或（舍去）．
故．
【答案】；


【例62】 已知，则 ．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，湖南高考
【解析】通项，由题设有，于是．
【答案】40；


【例63】 在展开式中，与的系数分别为，如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年，东城2模
【解析】由题设，，故．
【答案】C；


【例64】 若的展开式中的系数是， 则实数的值是_______．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】；
通项公式，令，
· 的系数是，解得．
【答案】-2；


【例65】 设常数，展开式中的系数为，则 ．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，崇文区2模
【解析】；通项公式，令，
的系数为，解得．
【答案】；


【例66】 若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】，
令，解得；令，解得；
于是有，
于是有，由组合数公式得：，
解得，故选B．
【答案】B；


【例67】 设为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为_____
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】，，
因此的前项和为．
【答案】；



【例68】 已知展开式的第二项与第三项的系数比是，则________．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，崇文区1模
【解析】；通项，由题设．
【答案】9；


【例69】 在的展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则第项为______
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】由题设，，故，；
【答案】；


【例70】 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】不难知道只有四个奇数，因此所求概率为．
【答案】；


【例71】 已知展开式中最后三项的系数的和是方程的正数解，它的中间项是，求的值．
【考点】求展开式中的指定项
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由得，∴（舍去）或，
由题意知，，解得．
于是展开式的中间项为第4项，从而，
从而，化简得，
∴或，
∴或．
经检验知，它们都符合题意．


【例72】 设数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项．
⑴用表示通项与前项和；
⑵若用表示
【考点】求展开式中的指定项
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴由题意，可求出，再求通项与前项和．
∵，∴．不难得出．
由的通项公式及已知条件有．
∴．
前项和．
⑵将进行化简：．
当时，．……①
还可以表示为…②
①②得
∴．
当时，，此时


．
综上，