2020届二轮复习二项展开式赋值求某些项系数的和与差教案（全国通用）
展开1．二项式定理⑴二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数．②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．⑷几点注意①通项是的展开式的第项，这里．②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设，则得公式：． ⑥通项是中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值． 2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．当时，的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是，，．．．，，，．．．，．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．③二项式系数的和为，即．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题． 二项展开式3赋值求某些项系数的和与差 【例1】 的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2018年，北京高考【解析】通项为，，常数项为，各项系数和为．【答案】，； 【例2】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2018年，重庆高考【解析】由题意，．于是通项当时，．常数项为．【答案】20； 【例3】 展开式中不含的项的系数和为A． B． C． D．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【关键字】2018年，江西高考【解析】略【答案】B； 【例4】 若展开式的各项系数之和为，则_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2018年，北京高考【解析】令得．，于是时，对应常数项．【答案】； 【例5】 ，则______．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】令，所求式子即为．【答案】0； 【例6】 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决 ．二项式的展开式的通项公式为：解析：前三项的．得系数为：，由已知： ，∴通项公式为为有理项，故是的倍数，∴．依次得到有理项为． 【例7】 的展开式中的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，西城1模【解析】通项公式，故的系数是；令即可得各项系数之和为．【答案】；； 【例8】 若，则的值为_____（用数字作答）．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】所求式子即为，令，要求的式子就是．【答案】1； 【例9】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）A． B．150 C． D．500【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【关键字】2018年，北京丰台一模【解析】求的展开式的各项系数之和令，而二项式系数之和为，则可以转化为得即．然后利用通项来求解．答案： B【答案】B； 【例10】 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是 ．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2009年，丰台一模【解析】由题设，第三项．【答案】； 【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】由，于是常数项为【答案】20； 【例12】 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】第一项系数的绝对值为，第二项系数的绝对值为，第三项系数的绝对值为，依题意有，解得，⑴第四项；⑵通项公式为，展开式的常数项有，即，常数项为；⑶令，得展开式的各项系数的和． 【例13】 若，求的值．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】令得，令得，===1【答案】1； 【例14】 若，则 ．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】注意原式的展开特点，令，即可得．【答案】 【例15】 若，则的值为_____（用数字作答）．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】所求式子即为，令，要求的式子就是．【答案】1； 【例16】 若，则_____．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】2018年，福建高考【解析】令，则所求式子为．【答案】31； 【例17】 已知，求．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】由展开式知：均为负，均为正，∴令，则所求式子为．【答案】 【例18】 若，求的值．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】令，用赋值法，令，得 ⑴令， ⑵⑴+⑵，得即． 【例19】 若，则的值为（ ）．A． B． C． D．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】令，所求的为，选A．【答案】A； 【例20】 若，则（ ）A． B． C． D．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】令，所求为，选C．【答案】C； 【例21】 已知，求：⑴ ；⑵ ；⑶ ．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴ 取可得，取得∴．⑵ 取得，记，．∴．可得从而．⑶ 从⑵的计算已知． 【例22】 若，求的值．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】令得，令得，===1 【例23】 若，则________．（用数字作答）【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】令得，令得，∴．【答案】31； 【例24】 若，则 ．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3【题型】填空【关键字】无【解析】注意原式的展开特点，令，即可得．【答案】 【例25】 若，则的值为（ ）A． B． C． D．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3【题型】选择【关键字】2009年，陕西高考【解析】在二项式展开式中令，得，于是，而，故．【答案】C； 【例26】 已知．⑴当时，求的值；⑵设．试用数学归纳法证明：当时，．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】4【题型】解答【关键字】2009年，南京1模【解析】略【答案】⑴当时，原等式变为．令得．⑵因为，所以．所以（）．①当时，左边，右边，左边右边，等式成立．②假设当时，等式成立，即，那么，当时，左边右边．故当时，等式成立．综合①②，当时，． 【例27】 请先阅读：在等式的两边求导得，由求导法则得，化简得．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；⑵对于整数，求证：．⑶对于整数，求证①；②．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】4【题型】解答【关键字】2018年，江苏高考【解析】略【答案】⑴在等式两边对求导，得．移项得（）⑵在（）式中，令得，，，整理得．⑶①由⑴知，．两边对求导，得．在上式中，令，得，即，亦即．又由⑵知，上面两式相加，得．②将等式两边在上对积分，．由微积分基本定理，得，故． 【例28】 证明：．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】2【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由二项式定理知：．等式两边对求2次导数得：令，则：．整理得． 【例29】 证明：．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由二项式定理知：．等式两边对积分得：．再次积分：．令，整理，得证． 【例30】 求证：【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】因为…，等式两边取关于的导数，得………．令，得…… 【例31】 求的二项展开式．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】这里，，，直接代公式． ． 【例32】 设，则等于（ ）A． B． C． D．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3【题型】选择【关键字】无【解析】，因此，选C．【答案】C； 【例33】 设，求【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】． 【例34】 已知数列（）满足：求证：对于任意正整数，是一次多项式或零次多项式．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】由已知条件知数列是等差数列，设公差为．则．于是：而，所以因此是一次多项式或零次多项式． 【例35】 若，则等于（ ）A． B． C． D．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3【题型】选择【关键字】无【解析】∵，∴，．，故应选A．【答案】A；
