2019届二轮复习 排列与组合 学案 （全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1. 排列与组合

1. 排列的相关概念及排列数公式

(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．

(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．

(3)排列数公式：这里并且

(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.

2．组合的相关概念及组合数公式

(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．

(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．. ]

(3)组合数的计算公式：，由于，所以.

(4)组合数的性质：①；②；③.

3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．

4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．

5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．

【重点难点突破】

考点1  排列与组合

【1-1】【2018年理新课标I卷】从2位女生，4位男生中选3人参加 技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有             种．（用数字填写答案）   

【答案】16

【1-2】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A、B、C、D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B不选修同一门课，则不同的选法有（  ）

A. 36种    B. 72种    C. 30种    D. 66种

【答案】C

【解析】先从4人中选出2人作为1个整体有种选法，减去在同一组还有5种选法，再选3门课程有种选法，利用分步计数原理有种不同选法.选C.

【1-3】【2018年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成           个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【答案】1260

【领悟技法】

1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．

具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：

(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．

(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2. 解答排列、组合问题的角度：

解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．   

(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；

(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；

(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

3. 有条件的排列问题大致分四种类型．

(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．

(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．

(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．  ]

(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．

4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．

【触类旁通】

【变式一】【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（   ）

A．12种                    B．18种               C．24种              D．36种

【答案】D 学  ]

【解析】[

由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法. 故选D.

【变式二】【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有      中不同的选法．（用数字作答）

【答案】660

【变式三】【河南省2018年高考一模】2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中班、班，班、班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置，其中班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有　　

A． 18种    B． 24种    C． 48种    D． 36种

【答案】B

【解析】

由题意，第一类，一班的名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为，故有种；   

第二类，一班的名同学不在甲车上，则从剩下的个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有种，

根据分类计数原理得，共有种不同的乘车方式

故选

考点2  有附加条件的排列组合问题

（1）          相邻问题捆绑法:

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【2-1】五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（     ）

A、60种      B、48种      C、36种     D、24种

【答案】D

【解析】把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.

（2）          相离问题插空排:

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【2-2】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（     ）

A、1440种      B、3600种      C、4820种     D、4800种

【答案】B

【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.

（3）          定序问题缩倍法:

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

【2-3】五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（    ）

A、24种      B、60种      C、90种     D、120种

【答案】B

【解析】在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.

（4）          标号排位问题分步法:

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

【2-4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（     ）

A、6种      B、9种      C、11种     D、23种

【答案】B

【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.

（5）          有序分配问题逐分法:

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

【2-5】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（     ）

A、1260种      B、2025种      C、2520种     D、5040种

【答案】C

（6）          全员分配问题分组法:

【2-6】4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

【答案】36

【解析】把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

（7）          名额分配问题隔板法:

【2-7】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

【答案】84

【解析】10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.

（8）          限制条件的分配问题分类法:

【2-8】某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

【答案】

（9）多元问题分类法：

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

【2-9】由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（     ）

A、210种      B、300种      C、464种     D、600种

【答案】B

【解析】按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，

个，合并总计300个,选.   

（10）交叉问题集合法：

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.

【2-10】从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

【答案】252

【解析】设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

种.

（11）定位问题优先法：

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素.

【2-11】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

【答案】72

【解析】老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种.

（12）多排问题单排法:

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.

【2-12】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（     ）

A、36种      B、120种      C、720种     D、1440种

【答案】C

【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.

【2-13】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

【答案】5760

（13）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

【2-14】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （     ）

A、140种      B、80种      C、70种     D、35种

【答案】C

【解析】

（14）选排问题先取后排:

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

【2-15】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

【答案】

【解析】先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.

【2-16】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

【答案】120

【解析】先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.

（15）部分合条件问题排除法:

在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

【2-17】以正方体的顶点为顶点的四面体共有（      ）

A、70种      B、64种      C、58种     D、52种

【答案】58

【解析】正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.

【2-18】四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（     ）

A、150种      B、147种      C、144种     D、141种

【答案】D

【解析】10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.

（16）复杂排列组合问题构造模型法:

【2-19】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

【答案】10

【解析】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

（17）元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

【2-20】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

【答案】20

【解析】

（18）复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:

【2-21】30030能被多少个不同偶数整除？

【答案】32

【解析】先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

个.

【2-22】正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

【答案】174

【解析】因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.

（19）利用对应思想转化法:

对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

【2-23】圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

【答案】

【2-24】某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？

【答案】

【解析】可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.

【领悟技法】

排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．

6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．

【触类旁通】

【变式一】某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节目自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有          种.（结果用数字表示）

【答案】1296

【变式二】【湖南省长沙市周南中学2018届三模】元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为

A． 48    B． 36    C． 24    D． 12

【答案】C

【解析】

分步进行：

①歌曲节目排在首尾，有种排法.   

②将个小品节目安排在歌曲节目的中间，有种排法.

③排好后，个小品节目与个歌曲节目之间有3个空位，

将个舞蹈节目全排列，安排在中间的个空位，有种排法.

则这个节目出场的不同编排种数为种，故选C.

【易错试题常警惕】

易错典例： 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？

易错分析：实际问题意义不清，计算重复、遗漏致误，本题第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后顺序，从而使取法重复．按分步原理，第一步确保1个一等品，有C种取法；第二步从余下的19个零件中任意取2个，有C种不同的取法，故共有CC＝2 736种取法．

正确解析：法一　将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：CC＋CC＋C＝1 136(种)．

法二　考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1 136(种)．

温馨提醒： 排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题. “至少、至多型”问题不能利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解

【学 素养提升之思想方法篇】

排列组合中的“分组分配”问题　

分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．

【典例1】5名志愿者分到了3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有(　　)

A．150种    B．180种

C．200种    D．280种

【答案】A

【典例2】【江西省南昌市2018届二轮测试（七）】为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（   ）

A． 3600    B． 1080    C． 1440    D． 2520

【答案】C

【解析】

由于每个班级必须参加且只能游览个景点，且每个景点至多有两个班级游览，因此可以把问题看成是将个班级分配到除新四军军部旧址外的四个景点或三个景点，可以分两种情况：

第一种，先将个班级分成四组，分别为再分配到四个景点，

温馨提醒：　

    (1)类型一：整体均匀分组

在解决整体均分型题目时，要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．  

(2)类型二：部分均匀分组

解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以这样的全排列数．

(3)类型三：不均匀分组

解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．