2019届二轮复习第4讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题学案（全国通用）

第4讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题
高考定位　利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.

真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)
A.y＝－2x B.y＝－x
C.y＝2x D.y＝x
解析　因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，可得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
答案　D
2.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1
解析　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0a＝－1，
则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，
当x1时，f′(x)>0；当－22，令f′(x)＝0得，
x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)0.
所以f(x)在，上单调递减，
在上单调递增.
(2)证明　由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，
所以x1x2＝1.
又∵x2>x1>0，所以x2>1.
又t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)
＝－－(x1－x2)＋a(ln x1－ln x2)－(a－2)(x1－x2)
＝a＝－a.
设φ(x)＝－x＋2ln x，x>1.
由第(1)问知，φ(x)在(1，＋∞)单调递减，且φ(1)＝0，
从而当x∈(1，＋∞)时，φ(x)0，且a≠1)；
(4)(logax)′＝(a>0，且a≠1，x>0).
3.利用导数研究函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系.
①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.
(2)利用导数研究函数单调性的方法.
①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)0，右侧f′(x)0，则－x0)，则f′(x)＝－3(x>0).
∴f′(1)＝－2，
∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，
即2x＋y＋1＝0.
(2)因为展开式的中间项系数为20，中间项为第四项，系数为C＝20，解得a＝2，
所以曲线y＝x2和圆x2＋y2＝2在第一象限的交点为(1，1)，所以阴影部分的面积为－(x－x2)dx＝－＝－.
答案　(1)2x＋y＋1＝0　(2)－
探究提高　1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.
2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点
(1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.
(2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.
【训练1】 (1)(2018·武汉调研)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
(2)(2018·成都质检)在平面直角坐标系内任取一个点P(x，y)满足则点P落在曲线y＝与直线x＝2，y＝2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为________.
解析　(1)y′＝
＝，则曲线y＝在点处的切线的斜率为k1＝1.因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，
又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，
所以k1k2＝－1，解得a＝1.
(2)由解得
所以阴影部分的面积为dx＝(2x－ln x)＝(2×2－ln 2)－＝3－2ln 2，因此所求概率为＝.
答案　(1)1　(2)
热点二　利用导数研究函数的单调性
考法1　确定函数的单调性(区间)
【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
解　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).
①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.
②若a0时，由x2＋ax＋1＝0，
得x1＝，x2＝(x12，则x1