2019届二轮复习第5讲　导数的综合应用与热点问题学案（全国通用）

第5讲　导数的综合应用与热点问题
高考定位　在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.

真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax2.
(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.
(1)证明　当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x.
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－2.
令g′(x)＝0，解得x＝ln 2.
当x∈(0，ln 2)时，g′(x)0.
∴当x≥0时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.
(2)解　若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程ex－ax2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，
由a＝，令φ(x)＝，x∈(0，＋∞)，
φ′(x)＝，令φ′(x)＝0，解得x＝2.
当x∈(0，2)时，φ′(x)0.
∴φ(x)min＝φ(2)＝.∴a＝.
2.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0.
(1)求a；
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－2g(x)的解集的交集不是空集[f(x)－g(x)]max>0(x∈I).
③对x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)f(x)max≤g(x)min.
④对x1∈I，x2∈I使得f(x1)≥g(x2)f(x)min≥g(x)min.
温馨提醒　解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键.

热点一　利用导数研究函数的零点(方程的根)
【例1】 (2018·西安调研)函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.
解　(1)f′(x)＝a＋ln x＋1，x>0，
由f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.则f(x)＝－x＋xln x，
∴f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；
令f′(x)