2019届二轮复习利用导数研究函数的单调性学案（全国通用）

第三章  导数

第03节  利用导数研究函数的单调性

【考纲解读】

【知识清单】

1．利用导数研究函数的单调性

在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.

在上为增函数．

在上为减函数．

【重点难点突破】

考点1  确定函数的单调性或求函数的单调区间

【1-1】已知函数与的图象如下图所示，则函数的递减区间为（   ）

A．                 B．，             C．            D．，

【答案】B

【1-2】【2018年全国卷II文】已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：只有一个零点．

【答案】（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．

（2）见解析.

【解析】分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.

详解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；

当x∈（，）时，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．

（2）由于，所以等价于．

设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．学+ 

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．

综上，f（x）只有一个零点．

点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.

（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.

【1-3】【2016北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，

（1）求，的值；

（2）求的单调区间.

【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.

所以，当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增.

故是在区间上的最小值，

从而.

综上可知，，，故的单调递增区间为.

【领悟技法】

1.导数法证明函数在内的单调性的步骤

(1)求；

(2)确认在内的符号；

(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．

2.求函数的单调区间方法一：①确定函数的定义域；

②求导数；

③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

3.求函数的单调区间方法二：①确定函数的定义域；

②求导数，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；

④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．

【触类旁通】

【变式一】函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

【答案】D

【解析】由题意，知f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.故选D.

【变式二】函数的单调增区间为            ．

【答案】

【变式三】已知函数.

(1)若曲线与曲线在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

(2)当时，求函数的单调区间．

【答案】（1）（2）单调递增区间是单调递减区间为.

【解析】

 (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，

由已知可得解得

(2)令

令得

由得，或；

由得，

∴单调递增区间是单调递减区间为.

【综合点评】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.

考点2  已知函数的单调性求参数的范围

【2-1】【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题函数为增函数，则 在上恒成立，则

，设则

令得到 ，可知函数 在上单调递增，在 上单调递减，则， 即的取值范围是，

选A

【2-2】若在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)

A．[－1，＋∞)  B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1]  D．(－∞，－1)

【答案】C

【解析】由题意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0，

在x∈(1，＋∞)上恒成立，

即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，

由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．

【2-3】【2018届浙江省嘉兴市第一中学9月测试】已知函数.

（I）若在处的切线方程为，求的值；

（II）若在上为增函数，求得取值范围.

【答案】(1) (2)

（II）因为在上为增函数，

所以在上恒成立.

即在上恒成立，所以有.

【领悟技法】

利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法

(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.

方法一：转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”；

方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”.

(2)函数f(x)在区间D上递增(减).

方法一：转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题；

方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.

【触类旁通】

【变式一】【2018届安徽省合肥市三模】若函数在区间上是非单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A 学  ]

【解析】分析：函数在区间上是非单调函数，等价于在有解，即在有解，换元后，求出的范围即可.

详解： ,, 

在区间上是非单调函数，

在有解，即在上有解，

即在有解，设，

在上有解，

时，分别有，

所以，即实数的取值范围是，故选A.

【变式二】已知向量，，若函数在区间(－1,1)上存在增区间，则t的取值范围为        ．

【答案】

【解析】 ，函数在⊆(－1,1)上单调递增，

故时恒成立，又，故.

【变式三】已知函数，（其中）.

（1）求的单调区间；

（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为.（2）.

【解析】

（1），，

，故.

当时，；当时，.

的单调增区间为，单调减区间为.

（2），则，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函数开口向上，且对称轴为，故在上单调递增，因此只需使，解得；

易知当时，且不恒为0.

故.

【易错试题常警惕】

易错典例：【2017·成都诊断】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0).

(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；

(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围.

易错分析：对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；

对于②：h(x)在[1，4]上单调递减，应等价于h′(x)≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h′(x)<0在[1，4]上恒成立”.

正确解析： (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，①

所以h′(x)＝－ax－2，由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，

－ax－2<0有解，②

即a>－有解.

设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可.

而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.

所以a>－1.

温馨提醒：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．

(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．

提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

【学 素养提升之思想方法篇】

     化整为零，积零为整——分类讨论思想

1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．

2.分类讨论思想的常见类型 

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 

⑵问题中的条件是分类给出的； 

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

【典例】已知函数 

当时，求的单调区间；

当时，的图象恒在的图象上方，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）当时，单调增区间是，单调减区间是；当时，单调增区间是，，单调减区间是；当时，单调增区间是，无减区间；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求得导函数，然后分、、讨论导函数与0之间的关系，由此求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）将问题转化为对恒成立，然后令，从而通过求导函数，再构造新函数得到函数的单调性，进而求得的取值范围．学 ！

试题解析：                      …（1分）

当时，，时，，单调递减

时，，单调递增 …（2分）

当时，令得．

 (i) 当时，，故：

时，，单调递增，

时，，单调递减，

时，，单调递增；       …（4分）

 (ii) 当时，， 恒成立，

在上单调递增，无减区间；      …（5分）

综上，当时，的单调增区间是，单调减区间是； 学  ]

当时，的单调增区间是，单调减区间是；

当时，的单调增区间是，无减区间.        …（6分）                                

 (i) 当时，恒成立，在上单调递增，

， 在上单调递增

，符合题意；                        …（10分）

 (ii) 当时，令得

时，，在上单调递减

时, 在上单调递减，

时,，不符合题意    …（11分）

综上可得的取值范围是.                        …（12分）