2019届二轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案（全国通用）

     简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 最新考纲1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词和存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1.命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．2.用来判断复合命题的真假的真值表pqp且qp或q﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真 规律：“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对．3.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．用符号“∀”表示学   (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等, 用符号“∃”表示．4．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题,全称命题就是形如“对M中的所有，”的命题，用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(2)含有存在量词的命题叫特称命题,特称命题就是形如“存在集合M中的元素，”的命题，用符号简记为：    ∃x0∈M，p(x0)．5. 含有一个量词的命题的否定6.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表正面词语等于（＝）大于（＞） 学      小于（＜）是都是至多有一个至少有一个任意的一定否定词语≠≤≥不是不都是至少有两个一个也没有存在一个不一定7.命题的否定与否命题的区别(1)定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则￢q”，而否命题为“若￢p，则￢q”．(2)与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．8.必知结论：p或q的否定为：￢p且￢q；p且q的否定为：￢p或￢q. 典型例题考点一　含逻辑联结词的命题的真假判断 【例1】(1)已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是(　　)A．p且q　　　　 B．(￢p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)【答案】A (2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则(　　)A．p真，q真 B．p假，q真C．p真，q假 D．p假，q假【答案】B　【解析】因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题． 规律方法   p∨q”“p∧q”“￢p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“￢p”等形式命题的真假． 【变式训练1】（1）已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α，命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是(　　)A．p∨q   B￢p∨qC￢p∧q   D．p∧q【答案】B【解析】命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有“￢p∨q”为真命题．（2）[2017·山东高考 已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是(　　)A．p∧q   B．p∧(￢q)C．(￢p)∧q   D．(￢p)∧(￢q)【答案】　B考点二  含有一个量词的命题 【例2】(1)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln 2”的否定为(　　)A．对任意x∈R，都有x2<ln 2   B．不存在x∈R，都有x2<ln 2 学      C．存在x0∈R，使得x≥ln 2   D．存在x0∈R，使得x<ln 2【答案】D【解析】按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为“存在x0∈R，使得x<ln 2”．(2)下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R,2x－1>0            B．∀x∈N ，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1         D．∃x0∈R，tan x0＝2【答案】B【解析】因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在0< x0<e，使得ln x0<1，所以C是真命题；因为正切函数y＝tan x的值域是R，所以D是真命题．(3)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是(　　)A．p是假命题                    B．q是真命题C．p∧(￢q)是真命题              D．(￢p)∧q是真命题【答案】C【解析】当x>0时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(￢q)是真命题，(￢p)∧q是假命题．学 =     .   规律方法  全(特)称命题真假的判断方法(1)全称命题真假的判断方法①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．(2)特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题． 【变式训练2】(1)下列命题中的真命题是(　　)A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝           B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x                D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx【答案】B【解析】因为sinx＋cosx＝sin(x＋)≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈(0，)时有sinx<cosx，故D错误，所以选B.(2)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则￢p为(　　)A．∀n∈N，n2>2n   B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n   D．∃n∈N，n2＝2n【答案】C【解析】将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．(3)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(　　)A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等【答案】　D【解析】命题是省略量词的全称命题．故选D. 考点三  由命题的真假求参数取值范围 【例3】　已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)A．m≥2   B．m≤－2C．m≤－2或m≥2   D．－2≤m≤2【答案】　A【解析】　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得，即m≥2.【题点发散1】本例条件不变，若p∧q为真，则实数m的取值范围为________．【答案】(－2,0)【解析】依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2<m<2.由可得－2<m<0.   【题点发散2】本例条件不变，若p∧q为假，p∨q为真，则实数m的取值范围为________．【答案】(－∞，－2 ∪[0,2)【题点发散3】本例中的条件q变为q：∃x∈R，x2＋mx＋1<0，其他不变，则实数m的取值范围为________．【答案】[0,2 【解析】依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2.由得0≤m≤2，∴m的取值范围是[0,2 ．规律方法  根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．【变式训练3】给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．【答案】(－∞，0)∪【解析】当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立”⇔a＝0或∴0≤a＜4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，∴a≤.∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q一真一假．∴若p真q假，则0≤a＜4，且a＞，∴＜a＜4；若p假q真，则即a＜0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪. 课堂总结1.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．2.命题的否定与否命题的区别： “否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.课后作业1．[2016·浙江卷 命题“∀x∈R，∃n∈N ，使得n≥x2”的否定形式是(　　)A．∀x∈R，∃n∈N ，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N ，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N ，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N ，使得n<x2【答案】D【解析】根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.2.下列命题中，真命题是(　　)A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数【答案】A【解析】　由函数奇偶性概念知，当m0＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选A.3.命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若￢p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,4    B．[0,4 C．(－∞，0 ∪[4，＋∞)   D．(－∞，0)∪(4，＋∞)【答案】D【解析】　因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题￢p：∃x0∈R，ax＋ax0＋1<0，则a<0或解得a<0或a>4.4.下列命题中为假命题的是(　　)A．∀x∈R，ex>0   B．∀x∈N，x2>0C．∃x0∈R，ln x0<1   D．∃x0∈N ，sin＝1【答案】B【解析】　ex>0对∀x∈R恒成立，A为真；当x＝0时，x2>0不成立，B为假；存在0<x0<e，使ln x0<1，C为真；当x0＝1时，有sin＝1成立，D为真．选B项．5．[2015·山东卷 若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．【答案】16.(2018·太原模拟(二))若命题“任意x∈(0，＋∞)，x＋≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________. 【答案】(2，＋∞)【解析】 由题意，知“存在x∈(0，＋∞)，x＋＜m”是真命题，又因为x∈(0，＋∞)，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，所以实数m的取值范围为(2，＋∞)．7.已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{ <0}，命题q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【答案】∪[1，＋∞)【解析】由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{ <0}，知0<a<1；由函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a>0的解集为R，则解得a>.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故或解得a≥1或0<a≤，故实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．8．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1 ，不等式2x－2≥m2－3m 恒成立；命题q：存在x∈[－1,1 ，使得m≤ax成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．【答案】(－∞，1)∪(1,2 【解析】　(1)∵对任意x∈[0,1 ，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.学=  因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2 ．(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1 ，使得m≤ax成立，∴m≤x，命题q为真时，m≤1.∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，则解得1<m≤2；当p假q真时，即m<1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2 ．