2019届二轮复习直线的方程学案（全国通用）

2019届二轮复习   直线的方程  学案 （全国通用）

题型一　直线的倾斜角与斜率

例1(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是 (　　)

A.   B.

C.   D.

【答案】　B

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为                  ．

【答案】　(－∞，－]∪[1，＋∞)

【解析】　如图，

∵kAP＝＝1，

kBP＝＝－，

∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．

引申探究

1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

【解析】　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，

∴kAP＝＝，

kBP＝＝.

如图可知，

直线l斜率的取值范围为.

2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．

【解析】　如图，直线PA的倾斜角为45°，

点评 直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．

巩固1已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)

A． 150°  B．135°

C．120°   D．不存在

题型二　求直线的方程

例2：(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；

(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．学  ]

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解析得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解析得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0. 学 .

故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

 学  ]

点评： 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，   ]

应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

巩固2根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；   .   ]

(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.

题型三　直线方程的综合应用

1　与基本不等式相结合求最值问题

例3　 (2018·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程．

【解析】　设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，

直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.

||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)

＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5

＝(2a＋b)－5＝＋≥4，

当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.

2  由直线方程解决参数问题

已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．

点评 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． 学+ + ]

(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．

巩固3已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

答案与解析

巩固1【解析】　由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．

显然直线l的斜率存在，

设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，

弦长|AB|＝2＝2，

所以S△AOB＝××2≤＝1，

当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，

由图可得k＝－，

故直线l的倾斜角为 150°.  

【答案】A　

(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.

若a＝0，即l过(0,0)及(4,1)两点，

∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

∵l过点(4,1)，∴＋＝1，

∴a＝5，

∴l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；

当斜率存在时，设其为k，

则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，

即kx－y＋(10－5k)＝0.

由点到直线的距离公式，得＝5，解析得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.