2019届二轮复习小题分层练9　压轴小题巧解练(1)作业（全国通用）

小题分层练(九)　压轴小题巧解练(1)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有(　　)

A．1对　　　B．2对　　　C．3对　　　D．4对

B　[作出f(x)＝的图象如图所示，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x＜0)和y＝－x2－4x(x＜0)的图象的交点个数．

由图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”．]

2．已知函数f(x)＝2x－(x＜0)与g(x)＝log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)    B．(－∞，)

C．(－∞，2)    D.

B　[由f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝2－x－(x＞0)，

令h(x)＝g(x)，得2－x－＝log2(x＋a)(x＞0)，

则方程2－x－＝log2(x＋a)在(0，＋∞)上有解，

作出y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象，如图所示，

当a≤0时，函数y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，

若a＞0，若两函数在(0，＋∞)上必有交点，则log2a＜，解得0＜a＜，

综上可知，实数a的取值范围是(－∞，)，故选B.]

3．(2018·济南二模)设x1，x2分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a＞1)，则x1＋4x2的取值范围是(　　)

A．[4，＋∞)    B．(4，＋∞)

C．[5，＋∞)    D．(5，＋∞)

D　[f(x)＝x－a－x的零点x1是方程x＝a－x，即＝ax的解，g(x)＝xlogax－1的零点x2是方程xlogax－1＝0，即＝logax的解，即x1，x2是y＝ax与y＝logax与y＝交点A，B的横坐标，可得0＜x1＜1，x2＞1，∵y＝ax的图象与y＝logax关于y＝x对称，y＝的图象也关于y＝x对称，∴A，B关于y＝x对称，设A，B，∴A关于y＝x对称点A′与B重合，＝x2⇒x2x1＝1，x1＋4x2＝x1＋x2＋3x2＞2＋3x2＞2＋3＝5，∴x1＋4x2的取值范围是(5，＋∞)，故选D.]

4．(2018·马鞍山二模)已知函数f(x)在R上满足f(x)＋f(－x)＝x2，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞x.若f(1＋a)－f(1－a)≥2a，则实数a的取值范围是(　　)

A．[0，＋∞)    B．[1，＋∞)

C．(－∞，0]    D．(－∞，1]

A　[由题意可设g(x)＝f(x)－x2，∵x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞x，∴g′(x)＝f′(x)－x＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又∵f(x)＋f(－x)＝x2，∴g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－x2＝x2－x2＝0，∴g(x)为奇函数，又f(0)＝0，∴g(x)＝0，∴g(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，又∵f(1＋a)－f(1－a)≥2a，∴g(1＋a)－g(1－a)≥0，即g(1＋a)≥g(1－a)，∴1＋a≥1－a，即a≥0，故选A.]

5．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)

A.    B.    C．－    D．－

C　[∵函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，

∴方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，∴方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，∴Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C.]

6．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则|AB|＝(　　)

A.    B．2    C．3    D．4

D　[很明显直线的斜率存在，

设直线方程为y＝k(x＋1)，

与抛物线联立可得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，

则：xQ＝＝－1，yQ＝k(xQ＋1)＝，

即Q，而F(1,0)，

利用两点之间距离公式可得：|FQ|＝＝2，

整理化简可得：＝0，∴＝2.

利用根与系数的关系有：x1＋x2＝＝6，x1x2＝1，

则|x1－x2|＝＝，＝，

由弦长公式可得：|AB|＝×|x1－x2|＝4.]

7．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足①f(x)＞0；②f(x)＜f′(x)＜3f(x)(其中f′(x)是f(x)的导函数，e是自然对数的底数)，则的取值范围为(　　)

A.    B.

C.    D.

A　[构造函数g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝＞0，所以函数g(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，所以g(1)＜g(2)，即＜，则＜e－；令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝＜0, 函数h(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，所以h(1)＞h(2)，即＞，则＞.综上，＜＜e－，故答案为A.]

8．(2018·黄山二模)已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2, P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值为(　　)

A.    B.    C．2    D．3

A　[考查一般性结论，当∠F1PF2＝θ时：

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的长半轴长为a2，两曲线的焦距为c，结合题意有：

m＋n＝2a1，|m－n|＝2a2，

两式平方相加可得：m2＋n2＝2(a＋a)，

两式平方作差可得：mn＝a－a，

由余弦定理有：4c2＝m2＋n2－2mncos θ，

则：4c2＝2(a＋a)－2(a－a)cos θ，2c2＝(1－cos θ)a＋(1＋cos θ)a，

即1＝＋，结合二倍角公式有：＋＝1.

本题中，θ＝，则有＋＝1，

即1＝＋≥2＝·，

则≤，当且仅当＝2，＝时等号成立，

据此可得的最大值为.

故选A.]

9．设函数f(x)＝ex(1－2x)＋ax，其中a＜1，若存在唯一负整数x0，使得f(x0)＞a，则实数a的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

D　[设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，

由题意知存在唯一的负整数x0使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方，

∵g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)，

∴当x＜－时，g′(x)＜0，当x＞－时，g′(x)＞0，

∴当x＝－时，g(x)取最小值－2e－，

直线y＝ax－a恒过定点(1,0)且斜率为a，

故a＞0且g(－1)＝－3e－1＜－a－a，g(－2)＝－≥－2a－a，

解得≤a＜，故选D.]

10．已知F是抛物线x2＝4y的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为(0，－1)，则的最小值是(　　)

A.    B.    C.    D.

C　[由题意可得，抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1.

过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，则＝＝sin∠PAM，∠PAM为锐角．∴当∠PAM最小时，最小，则当PA和抛物线相切时，最小．设切点P(2，a)，由y＝x2的导数为y′＝x，则PA的斜率为·2＝＝，∴a＝1，则P(2,1)．∴|PM|＝2，|PA|＝2，

∴sin∠PAM＝＝，故选C.]

11．已知函数f(x)＝(x－a)2＋(ex－a)2(a∈R)，若存在x0∈R，使得f(x0)≤成立，则实数a的值为(　　)

A.    B.    C.    D.

D　[函数f(x)可以看作是动点M(x，ex)与动点N(a，a)之间距离的平方，

动点M在函数y＝ex的图象上，N在直线y＝x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y＝ex得，y′＝ex，令y′＝1，解得x＝0，

∴曲线上点M(0,1)到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝，则f(x)≥，

根据题意，要使f(x0)≤，则f(x0)＝，此时N恰好为垂足，

由kMN＝＝－1，解得a＝，故选D.]

12．(2018·东莞高三二模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点F的直线l交双曲线C的两条渐近线于A，B两点，且＋2＝0，则直线l的斜率k(k＞0)的值等于(　　)

A．3    B．2    C.    D.

A　[因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以＝2，＝，则双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设过右焦点F的直线l的方程为x＝ty＋c，联立得yA＝，联立，得yB＝，由＋2＝0，得yA＝－2yB，即＝，解得t＝，即直线l的斜率k(k＞0)的值等于3.故选A.]

二、填空题

13．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是________．

(1，＋∞)　[依题意，由f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根得，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y＝－x与函数y＝f(x)的大致图象(图略)，平移直线y＝－x，当平移到该直线在y轴上的截距大于1时，相应直线与函数y＝f(x)的图象有唯一公共点，即此时关于x的方程有且只有一个实数根，因此a＞1，即实数a的取值范围是(1，＋∞)．]

14．双曲线C：－＝1 的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为________．

10　[根据双曲线－＝1得a＝2，b＝，

根据双曲线的定义|AF2|－|AF1|＝2a＝4，

|BF2|－|BF1|＝2a＝4，

相加得|AF2|＋|BF2|－(|BF1|＋|AF1|)＝8，

由题意可知|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线通径时|AB|最小，

即有|AF2|＋|BF2|－(|BF1|＋|AF1|)＝|AF2|＋|BF2|－|AB|＝8，

即有|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|≥＋8＝＋8＝10，

故答案为10.]

15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．

丙　[若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．

若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．

若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．

故答案为丙．]

16．(2018·惠州二模)已知F是抛物线x2＝4y的焦点，有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为《追求2017》的题目，请你解答此题：球O的球心为点O，球O内切于底面半径为、高为3的圆锥，三棱锥V­ABC内接于球O，已知OA⊥OB，AC⊥BC，则三棱锥V­ABC的体积的最大值为________．

　[圆锥的母线长为＝2，设球O的半径为r，则＝，解得r＝1.

∵OA⊥OB，OA＝OB＝1，∴AB＝，

∵AC⊥BC，∴C在以AB为直径的圆上，

∴平面OAB⊥平面ABC，

∴O到平面ABC的距离为，

故V到平面ABC的最大距离为＋1.

又C到AB的最大距离为，

∴三棱锥V­ABC的体积的最大值为××××＝.]