2019届二轮复习压轴小题抢分练(1)作业（全国通用）

2019届二轮复习   压轴小题抢分练 (1)   作业（全国通用）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)+f′(x)>1,f(1)=0,则不等式f(x)-1+≤0的解集是              (　　)

A.(-∞,1]   B.(-∞,0]

C.[0,+∞)   D.[1,+∞)

【解析】选A.令g(x)=ex-1f(x)-ex-1+1,则:g′(x)=ex-1(f(x)+f′(x)-1),

由题意可知:g′(x)>0,则函数g(x)在R上单调递增,

且g(1)=1×0-1+1=0,

不等式f(x)-1+≤0即ex-1f(x)-ex-1+1≤0,

即:g(x)≤g(1),结合函数的单调性可得不等式的解集为:{x|x≤1}.

2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若·=0,且∠F1AF2 =150°,则e2=              (　　)

A.7-2　　 B.7-　　 C.7+　　 D.7+2

【解析】选A.如图:

因为·=0,所以AB⊥BF2,∠F1BF2=90°,

因为∠F1AF2=150°,所以∠BAF2=30°,

设BF2=x,则AF2=2x,AB=x,

由双曲线定义可得:F1A+AB-BF2=2a,

所以F1A=2a+x-x,

AF2-AF1=2a,F1A=2x-2a,

故2x-2a=2a+x-x,解得x=2(-1)a,

则F1B=2a,

在Rt△F1BF2中,由勾股定理可得

F1B2+B=F1,

即(2a)2+[2(-1)a]2=(2c)2,

得(7-2)a2=c2 ,所以e2=7-2.

3.若关于x的不等式x(1+ln x)+2k>kx的解集为A,且(2,+∞)⊆A,则整数k的最大值是              (　　)

A.3   B.4   C.5   D.6

【解析】选B.关于x的不等式x(1+ln x)+2k>kx的解集为A,且(2,+∞)⊆A,

所以当x>2时,x(1+ln x)>k(x-2)恒成立,即k<恒成立,

令h(x)=,h′(x)=,x>2.

令φ(x)=x-4-2ln x,φ′(x)=1->0,所以φ(x)在(2,+∞)上单调递增,

因为φ(8)=4-2ln 8<0,φ(9)=5-2ln 9>0,

方程φ(x)=0在(2,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(8,9).

则φ(x0)=x0-4-2ln x0=0,即x0-4=2ln x0.

当x∈(2,x0)时,φ(x)<0,h′(x)<0,

当x∈(x0,+∞)时,φ(x)>0,h′(x)>0.

故h(x)在(2,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.故h(x)的最小值为h(x0)===∈.

所以整数k的最大值为4.

4.函数f(x)=ln x+x2-bx+a(b>0,a∈R)的图象在点(b,f(b))处的切线的倾斜角为α,则倾斜角α的取值范围是              (　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】选B.依题意得f′(x)=+2x-b,f′(b)=+b≥2=1(b>0),当且仅当=b>0,即b=时取等号,因此有tan α≥1,≤α<,即倾斜角α的取值范围是.

5.已知关于x的方程为=12ex-2-m(x2-3)(其中m∈R),则此方程实根的个数为 (　　)

A.2　　 B.2或3　　 C.3　　 D.3或4

【解析】选C.很明显x=±不是方程=12ex-2-m(x2-3)的根,

据此可将方程变形为:m=·-,

原问题等价于考查函数y=m与函数g(x)=·-的交点的个数,

令h(x)=,则h′(x)=,列表考查函数h(x)的性质如下:

函数y=x-在有意义的区间内单调递增,

故g(x)的单调性与函数h(x)的单调性一致,

且函数的极值g(-1)=g(3)=+2e.

可得,y=m与函数g(x)=·-恒有3个交点,

即题中方程实根的个数为3.

6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,若|MF1|-|MF2|=2b,该双曲线的离心率为e,则e2=              (　　)

A.2　　 B.3　　 C.　　 D.

【解析】选D.以线段F1F2 为直径的圆方程为x2+y2=c2,

双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=x ,

联立方程 求得M(a,b) ,

因为|MF1|-|MF2|=2b<2c ,

所以有M(a,b)在双曲线-=1(a>0,b>0)上,

所以-=1⇒-=1,

化简得e4-e2-1=0 ,

由求根公式有e2= (负值舍去).

7.已知函数f(x)=2ln x,g(x)=a-x2-e≤x≤-,其中e为自然对数的底数.若总可以在f(x)图象上找到一点P,在g(x)图象上找到一点Q,使得P,Q关于原点对称,则实数a的取值范围是              (　　)

A.　　  B.[1,e2-2]

C.　　 D.[e2-2,+∞)

【解析】选B.由题意,若总可以在f(x)图象上找到一点P,在g(x)图象上找到一点Q,

使得P,Q关于原点对称,则函数f(x)=2ln x和函数y=x2-a有公共点,

即方程2ln x=x2-a有解,

即a=x2-2ln x有解.

令y=x2-2ln x,

则y′=2,

当≤x<1时,y′<0,函数为减函数,

当1<x≤e时,y′>0,函数为增函数,

故当x=1时,函数取最小值为1,当x=e时,函数取最大值为e2-2,

故实数a的取值范围是[1,e2-2].

8.设f(x)=ex(x2+2x),令f1(x)=f′(x),fn+1(x)=fn′(x),若fn(x)=ex(Anx2+Bnx+Cn),且数列的前n项和为Sn,则当|Sn-1|≤时,n的最小整数值为              (　　)

A.2 017　　 B.2 018　　 C.2 019　　 D.2 020

【解析】选A.由题意得

f1(x)=(2x+2)ex+(x2+2x)ex=(x2+4x+2)ex,

f2(x)=(2x+4)ex+(x2+4x+2)ex=(x2+6x+6)ex,

f3(x)=(2x+6)ex+(x2+6x+6)ex=(x2+8x+12)ex,

…

由此可得C1=2,C2=6,C3=12,

故可归纳得Cn=n(n+1),

所以==-,

所以Sn=++…+=1-,

由题意得|Sn-1|=,所以≤,

解得n≥2 017.

所以n的最小整数值为2 017.

9.已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4-x),且当x∈(0,4]时,f(x)=,关于x的不等式f2(x)+af(x)>0在区间[-200,200]上有且只有300个整数解,则实数a的取值范围是              (　　)

A.　　 B.

C.　　 D.

【解析】选D.因为偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4-x),

所以f(x+4)=f(4-x)=f(x-4),

所以f(x)的周期为8,且f(x)的图象关于直线x=4对称,

由于[-200,200]上含有50个周期,

且f(x)在每个周期内都是轴对称图形,

所以只需满足关于x的不等式f2(x)+af(x)>0在(0,4]上有3个正整数解即可.

当x∈(0,4]时,f′(x)=,

所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,因为f(1)=ln 2, f(2)>f(3)>f(4)==ln 2>0,

所以当x=k(k=1,2,3,4)时,f(x)>0,

所以当a≥0时,f2(x)+af(x)>0在(0,4]上有4个正整数,不符合题意,

所以a<0,

由f2(x)+af(x)>0可得f(x)<0或f(x)>-a,

显然f(x)<0在(0,4]上无正整数解,

故而f(x)>-a在(0,4]上有3个正整数解,分别为1,2,3,

所以-a≥f(4)=ln 2,-a<f(3)=,-a<f(1)=ln 2,

所以-<a≤-ln 2.

10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),双曲线C上存在一点P,使得=,则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)

A.(1,1+)   B.(1,1+)

C.(1,)    D.(1,)

【解析】选A.不妨设点P在双曲线的右支上,

在△PF1F2中,由正弦定理得

=,

所以==,

所以=,

所以=,

所以|PF2|=,

又|PF2|>c-a,所以>c-a,

所以c2-2ac-a2<0,所以e2-2e-1<0,

解得1<e<1+.

11.在两直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形中,若c=1,a+b=mab,则实数m的取值范围是              (　　)

A.(,2]　　 B.[2,2]

C.[2,+∞)　　 D.[2,+∞)

【解析】选C.由直角三角形的性质可得:

a>0,b>0,a2+b2=1,

不妨设a=cos θ,b=sin θ,

则m==,

令t=sin θ+cos θ=sin∈(1,],

则t2=1+2sin θcos θ,据此可得sin θcos θ=,

故:m==,函数t-在(1,]上单调递增,

则t-∈,据此可得:实数m 取值范围是[2,+∞).

12.已知函数f(x)=aln x-(a>0),若方程f(f(x))=x恰好有两个实数解,则实数a的取值范围是(　　)

世纪金榜导学号

A.(0,1)    B.(e,+∞)

C.   D.

【解析】选D.因为函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以要使方程f(f(x))=x恰好有两个实数解,只需满足函数y=f(x)与y=x恰有两个交点,所以aln x-=x有两个实数解.令g(x)=aln x--x,因为g′(x)=+-1=-,当0<x<2a时,g′(x)>0,当x>2a时,g′(x)<0,所以函数g(x)在(0,2a)上单调递增,在(2a,+∞)上单调递减,函数g(x)的最大值g(x)max=g(2a),且当x→0时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→-∞,因此,只需满足g(2a)>0,即可保证函数g(x)有两个零点,

由g(2a)=aln(2a)-a-2a>0,得a>.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.已知定义在R 上的函数f(x) 满足:①f(1+x)=f(1-x) ,②在[1,+∞) 上为增函数;③若x∈ 时,f(ax)<f(x-1) 成立,则实数a 的取值范围为________. 

【解析】因为函数f(x)满足,①f(1+x)=f(1-x) ,

②在[1,+∞) 上为增函数;

③若x∈ 时,f(ax)<f(x-1) 成立,

所以f(x)关于x=1对称,所以当自变量距离对称轴x=1越近,函数值越小,

因为f(ax)<f(x-1),所以|ax-1|<|(x-1)-1|,

即|ax-1|<|x-2|,

设g(x)=|ax-1|,h(x)=|x-2|,

要使x∈时,|ax-1|<|x-2|,

则x∈时,y=g(x)的图象在y=h(x)的图象下方,画出y=g(x)与y=h(x)的图象如图,

由图可知,有

即,

解得0<a<2,

即0<a<2时,|ax-1|<|x-2|恒成立,

即f(ax)<f(x-1)恒成立.

实数a 的取值范围为(0,2).

答案:(0,2)

14.在平面四边形ABCD中,∠A=60°,AD⊥DC,AB=,BD=2,则BC的最小长度为________. 

【解析】如图所示,建立平面直角坐标系,其中A(0,0),B(,0),

则点D为直线y=x与圆(x-)2+y2=4的交点,

作DE⊥AD,则点C在射线DE上.

当BC⊥DE时,BC取得最小值.

在△ABD中,

由正弦定理,得=,

解得sin∠ADB=,

故cos∠CDB=,

sin∠CDB==,

BC取得最小值时:BC=BD×sin∠CDB=.

综上可得:BC的最小长度为.

答案:

15.设等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,若数列{}也是公差为d的等差数列,则an=________.              世纪金榜导学号 

【解析】等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,

若数列{}也是公差为d的等差数列,

所以=+(n-1)d,

所以na1+d+n

=a1+1+(n-1)2d2+2(n-1)d,

n≠1时,化为a1++1

=(n-1)d2+2d,

n=2时,a1+d+1=d2+2d,

n=3时,a1+d+1=2d2+2d,

联立解得:

所以an=-1或an=-+(n-1)×=n-.

答案:-1或n-

16.设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离小于2的概率是________.              世纪金榜导学号 

【解析】区域D表示矩形,面积为3,到坐标原点的距离小于2的点位于以原点O为圆心,半径为2的圆内,

图中阴影部分的面积为×1×+×π×4=+,故所求概率为.

答案:

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