2019届二轮复习小题分层练10　压轴小题巧解练(2)作业（全国通用）

小题分层练(十)　压轴小题巧解练(2)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2018·东莞高三二模)已知函数f(x)＝3x－的图象上的两点(x0，y0)，(4＋x0，x0＋y0)关于原点对称，则函数f(x)(　　)
A. 在(－∞，0)内单调递增
B. 在(0，＋∞)内单调递减
C．在(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减
D. 在(－∞，0)∪(0，＋∞)在内单调递增
A　[易知函数f(x)＝3x－为奇函数，因为其图象上的两点(x0，y0)(4＋x0，x0＋y0)关于原点对称，所以解得即－6＋＝1，解得a＝14，即f(x)＝3x－，则f(x)＝3x－在(－∞，0)内单调递增，故选A.]
2．(2018·江西高三质监)函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使得f(x)在[a，b]上的值域为，则称函数f(x)为“成功函数”．若函数f(x)＝logm(mx＋2t)(其中m＞0，且m≠1)是“成功函数”，则实数t的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　 B.
C. D.
D　[无论m＞1还是0＜m＜1，f(x)＝logm(mx＋2t)都是R上的单调增函数，故应有则问题可转化为求f(x)＝，即f(x)＝logm(mx＋2t)＝，即mx＋2t＝mx在R上有两个不相等的实数根的问题，令λ＝mx(λ＞0)，则mx＋2t＝mx可化为λ2－λ＋2t＝0，则故0＜t＜，选D.]
3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰好有3个不同的实数根，则a的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，2)
D　[∵对于任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(2＋x)，∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4.
又∵当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，
若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数解，
则函数y＝f(x)与y＝loga(x＋2)在区间(－2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：

又f(－2)＝f(2)＝3，
则对于函数y＝loga(x＋2)，由题意可得，当x＝2时的函数值小于3，当x＝6时的函数值大于3，
即loga4＜3，且loga8＞3，由此解得＜a＜2.]
4．已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2＋y2＝4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是(　　)
A.∪ B．(－∞，0)∪
C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(0,1)
D　[由题意得A(－2,0)，B(2,0)，F(1,0)，PA⊥PB.
设点Q的坐标为(x0，y0)，则kQA·kQF＝·＝
＝＝.
∴＝－＝＝，
又x0∈(－2,2)且x0≠1，
∴＜0或0＜＜1，
故的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．选D.]
5．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
A　[根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因为1≤b＜2，所以0＜e≤.]
(教师备选)
(2018·河南郑州高三二模)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为(　　)

A. 23 B. 42
C. 12 D. 52
A　[由题意抛物线过定点(2,4)，得抛物线方程y2＝8x，焦点为F(2,0)．圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心为(2,0)，半径r＝1.由于直线过焦点，所以有＋＝＝，又|PN|＋4|QM|＝(PF＋1)＋(4QF＋4)＝PF＋4QF＋5＝2(PF＋4QF)＋5＝2＋5≥23，当且仅当PF＝2QF时等号成立．选A.]
6．抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)
A. B.
C. D.
D　[经过第一象限的双曲线C2的渐近线方程为y＝x.抛物线C1的焦点为F1，双曲线C2的右焦点为F2(2,0)．因为y＝x2，所以y′＝x，所以抛物线C1在点M处的切线斜率为，即x0＝，所以x0＝p.因为F1，F2(2,0)，M三点共线，所以＝，解得p＝，故选D.]
(教师备选)
(2018·辽宁大连高三一模)若直线kx－y－k＋1＝0(k∈R)和曲线E：y＝ax3＋bx2＋(b≠0)的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x1＜x2＜x3)三点时，曲线E在A、C点处的切线总是平行的，则过点(b，a)可作曲线E的几条切线．(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
C　[直线kx－y－k＋1＝0(k∈R)过定点(1,1)，
由题意可知：定点(1,1)是曲线E：y＝ax3＋bx2＋(b≠0)的对称中心，
解得，所以曲线E：y＝x3－x2＋，(b，a)＝.
f′(x)＝x2－2x，设切点M(x0，y0)，
则M纵坐标y0＝x3－x＋，又f′(x0)＝x－2x0，
∴切线的方程为：y－＝(x－2x0)(x－x0)，
又直线过定点，∴－＝(x－2x0)(－1－x0)，得x－3x0－2＝0，(x－x0)－2(x0＋1)＝0，即(x0＋1)·(x－x0－2)＝0，
解得x0＝2或－1，故可做两条切线，选C.]
7．(2018·昆明二模)已知函数f(x)＝＋k(ln x－x)，若x＝1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，e] B．(－∞，e)
C．(－e，＋∞) D．[－e，＋∞)
A　[由函数f(x)＝＋k(ln x－x)，可得f′(x)＝＋k＝，∵f(x)有唯一极值点x＝1，∴f′(x)＝0有唯一根x＝1，∴－k＝0无根，即y＝k与g(x)＝无交点，可得g′(x)＝，由g′(x)＞0得，g(x)在[1，＋∞)上递增，由g′(x)＜0得，g(x)在(0,1)上递减，∴g(x)min＝g(1)＝e，∴k≤e，即实数k的取值范围是(－∞，e]，故选A.]
8．(2018·广东茂名高三二模)若对任意的x＞0，不等式x2－2mln x≥1(m≠0)恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．{1} B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．[e，＋∞)
A　[由已知可得x2－2mln x－1≥0对任意的x＞0恒成立，
设f(x)＝x2－2mln x－1，则f′(x)＝2x－＝，
当m＜0时f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，∴在(0,1)上f(x)＜0，不合题意；
当m＞0时，可知f(x)在(0，)单调递减，在(，＋∞)单调递增，要使f(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，只要f()≥0，令g(m)＝f()＝m－mln m－1(m＞0)，g′(m)＝－ln m，可知g(m)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，∴g(m)≤0，∴g(m)＝0，∴m＝1.故选A.]
9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)
A．－13 B．－15
C．10 D．15
A　[求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，所以a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又因为f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，
所以当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]
10．(2018·四川德阳高三二诊)如图43，过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、C点，令＝λ1，＝λ2，则当α＝时，λ1＋λ2的值为(　　)

图43
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由过抛物线y2＝4x的焦点的直线的性质可得|AB|＝x1＋x2＋2＝＝，

∴x1＋x2＝，又x1x2＝＝1，可得x1＝3，x2＝，
分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，则＝λ1＝＝＝3，同理可得＝λ2＝1，∴λ1＋λ2＝4，故选B.]
二、填空题
11．(2018·惠州二模)已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f＝f，函数f(x＋1)是奇函数，当－≤x≤时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－在区间[－3,5]内的所有零点之和为________．
4　[∵函数f(x＋1)是奇函数，
∴函数f(x＋1)的图象关于点(0,0)对称，
∴把函数f(x＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f(x)的图象，即函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(2－x)＝－f(x)．
又∵f＝f，∴f(1－x)＝f(x)，从而f(2－x)＝－f(1－x)，
∴f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．
∴函数f(x)的周期为2，且图象关于直线x＝对称，画出函数f(x)的图象如图所示：

∴结合图象可得f(x)＝－在区间[－3,5]内有8个零点，且所有零点之和为×2×4＝4.]
(教师备选)
已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D­ABC，当三棱锥D­ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________．

　[已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB＝2，AD＝1，CD＝1，∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC，
取AC的中点E，AB的中点O，连接DE，OE，
∵当三棱锥体积最大时，平面DCA⊥平面ACB，
∴OB＝OA＝OC＝OD，∴OB＝1，就是外接球的半径为1，
此时三棱锥外接球的体积：×13＝.]
12．(2018·沈阳二模)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,3)，当△APF的周长最大时，△APF的面积为________．
　[椭圆＋＝1中， a＝4，b＝，∴c＝3，由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′|＝8＋6＋|PA|－|PF′|≤14＋|AF′|(A，P，F′三点共线时，且P在AF′的延长线上，取等号)，此时kAP＝，∴∠AF′F＝，
∴∠FF′P＝，设|PF′|＝x，则|PF|＝8－x，由余弦定理得(8－x)2＝x2＋36－2×6x·cos，∴x＝，所以△APF的面积S＝S△AF′F＋S△PF′F＝×6×＝.]
13．(2018·安庆二模)锐角三角形的三个内角分别为A、B、C，sin(A－B)＝，sin C＝，AB＝6，则△ABC的面积为________．
12＋6　[∵sin(A－B)＝sin Acos B－sin Bcos A＝，
sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝，
∴sin Acos B＝，sin Bcos A＝，
∴sin2A(1－sin2B)＝，sin2B(1－sin2A)＝，
∴sin2Asin2B＝，
sin2Asin2B＝，∴sin Asin B＝，
S＝absin C＝·sin C＝6(＋2)．]